[논문 리뷰] Equilibrium sets in quintom cosmologies: the past asymptotic dynamics

Genly León, Rolando Cárdenas외 1명|ArXiv.org|2008. 12. 03.

Cosmology and Gravitation Theories참고 문헌 23인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비하이퍼볼릭 임계점의 곡선 위의 고정점 근처에서 4차까지의 정규형 전개를 유도하여 지수형 포텐셜을 가진 퀘이텀 우주론의 과거 점점 가까운 행동을 분석한다. 불안정 다변량의 구조가 질량이 없는 스칼라 장 우주론이 궤도의 열린 집합에서 주요 과거 행동임을 확인하며, 수치적 결과를 보완하고 무한대에서의 역학을 분석하여 H/φ̇ 및 φ̇/φ̇̇의 특정 진동수를 밝혀낸다.

ABSTRACT

In the previous paper \cite{Lazkoz:2006pa} was investigated the phase space of quintom cosmologies for a class of exponential potentials. This study suggests that the past asymptotic dynamics of such a model can be approximated by the dynamics near a hyperbola of critical points. In this paper we obtain a normal form expansion near a fixed point located on this equilibrium set. We get computationally treatable system up to fourth order. From the structure of the unstable manifold (up to fourth order) we see that that the past asymptotic behavior of this model is given by a massless scalar field cosmology for an open set of orbits (matching the numerical results given in \cite{Lazkoz:2006pa}). We complement the results discussed there by including the analysis at infinity. Although there exists unbounded orbits towards the past, by examining the orbits at infinity, we get that the sources satisfy the evolution rates $\dotϕ^2/V\sim\frac{2m^2}{n^2-m^2}, \dotϕ/\dotφ\sim-m/n,$ with $H/\dotϕ$ approaching zero.

연구 동기 및 목표

• 지수형 포텐셜을 가진 퀘이텀 우주론의 과거 점점 가까운 행동을 이해하기 위해, 비이sov한 임계점의 집합 근처에서의 행동을 분석한다.
• 선형화의 실패를 해결하기 위해 비하이퍼볼릭 임계점에 대해 정규형 이론을 적용한다.
• 균형 집합 근처의 고정점에서 4차까지의 고차수(최대 4차) 정규형 전개를 계산한다.
• 불안정 다변량의 구조를 분석하여 과거 우주론적 행동의 주요 성향을 규명한다.
• 분석을 무한대의 행동까지 확장하여, 무한대에 수렴하는 궤도에 대한 행동 속도를 포함한다.

제안 방법

• 위상 공간 내 비하이퍼볼릭 임계점의 곡선(C±) 근처에서의 역학을 분석하기 위해 불변 다변량 정리 적용.
• 벡터장을 계산 가능한 형태로 줄이기 위해 정규형 이론를 사용하여 4차항까지의 항을 포함한다.
• 비공진 비선형 항을 제거하기 위해 동차 방정식을 풀어 공진 성분만을 정규형에 유지한다.
• 선형화된 시스템의 실수 조르당 표준형을 활용하고, 동차 연산자의 상사공간과 핵공간으로 공간을 분해한다.
• 고유값이 공진이 아닐 경우 동차 연산자의 역행렬을 통해 계수를 구하여 4차까지의 정규형을 구성한다.
• 유도된 정규형을 분석하여 불안정 다변량의 구조와 과거 우주론적 진화에 대한 영향을 추론한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지수형 포텐셜을 가진 퀘이텀 우주론에서 비이sov한 임계점의 곡선 근처에서 과거 점점 가까운 행동의 주요 성향은 무엇인가?
• RQ2 균형 집합 근처의 불안정 다변량의 구조는 시스템의 장기적 과거 역학을 어떻게 결정하는가?
• RQ3 선형화가 실패할 경우 정규형 방법이 비이sov한 임계집합 근처의 역학을 성공적으로 포괄할 수 있는가?
• RQ4 무한대에 수렴하는 궤도에 대해 H/φ̇ 및 φ̇/φ̇̇의 진동수는 어떻게 되는가?
• RQ5 무한대에서의 역학은 이전 연구(Lazkoz:2006pa)의 수치적 결과와 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 4차까지의 불안정 다변량의 구조는 초기 조건의 열린 집합에서 과거 점점 가까운 행동이 질량이 없는 스칼라 장 우주론으로 지배됨을 확인한다.
• 정규형 전개는 균형 집합 근처의 역학을 성공적으로 포착하여 Lazkoz:2006pa의 수치적 결과를 검증한다.
• 무한대에서의 진동수는 H/φ̇ → 0 및 φ̇²/V ∼ 2m²/(n²−m²)를 만족하며, φ̇/φ̇̇ ∼ −m/n이다.
• 과거로 향하는 무한대에 수렴하는 궤도가 존재하더라도, 유도된 진동수에 의해 잘 정의된 점점 가까운 행동을 보인다.
• 균형 집합 C±가 국소적 소스로 작용함을 확인하여, 수치적으로 관측된 과거 역학과 일치한다.
• 정규형 내 공진 항은 보완 부분공간 G^r에 포함시켜 감소의 타당성을 보장한다.