[논문 리뷰] Equilibrium Solutions of Multi-Period Mean-Variance Portfolio Selection

Yuan‐Hua Ni, Xun Li외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 22.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 12인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 개방형 제어와 피드백 전략을 조합한 혼합 균형 해법 프레임워크를 도입하여 다기준 평균-분산 포트폴리오 선택 문제에 대해 균형 해를 수립함으로써, 제약 조건이 없는 비퇴화 조건을 제거하고, 이 분야에서 처음으로 명시적인 해법 조건을 제공한다.

ABSTRACT

This is a companion paper of [Mixed equilibrium solution of time-inconsistent stochastic LQ problem, arXiv:1802.03032], where general theory has been established to characterize the open-loop equilibrium control, feedback equilibrium strategy and mixed equilibrium solution for a time-inconsistent stochastic linear-quadratic problem. This note is, on the one hand to test the developed theory of that paper, and on the other hand to push the solvability of multi-period mean-variance portfolio selection. A nondegenerate assumption has been removed in this note, which is popular in existing literature about multi-period mean-variance portfolio selection; and neat conditions have been obtained to characterize the existence of equilibrium solutions.

연구 동기 및 목표

• 시간에 따라 일관성이 없는 다기준 평균-분산 포트폴리오 선택 문제를 다루기 위해 혼합 균형 해법 개념을 확장한다.
• 기존의 다기준 평균-분산 모델 문헌에서 흔히 사용되는 비퇴화 조건을 제거한다.
• 이산 시간 평균-분산 포트폴리오 문제에서 균형 해의 존재를 위한 깔끔하고 명시적인 조건을 유도한다.
• 동반 논문에서 개발된 시간에 따라 일관성이 없는 확률적 LQ 제어 이론의 일반 이론을 테스트하고 적용한다.
• 개방형 제어 균형 해법과 피드백 전략 균형 해법을 특수 케이스로 포함하는 통합 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 순수 피드백 전략 부분과 개방형 제어 부분으로 구성된 혼합 균형 해법을 도입하여 시간 일관성을 확보한다.
• 무위험 자산과 위험 자산을 포함하는 이산 시간 확률적 선형-제곱형(LQ) 프레임워크를 사용하여 포트폴리오 역학을 모델링한다.
• 결합된 리카티 유사 방정식 시스템을 풀어 균형 존재에 대한 필요 및 충분 조건을 도출한다.
• 비가역인 경우를 다루기 위해 초과 수익 행렬 $\mathcal{O}_k$의 무어-펜로즈 역행렬을 사용하여 해법 가능성을 보장한다.
• 동반 논문 [arXiv:1802.03032]의 일반 이론을 다기준 평균-분산 최적화의 구체적 사례에 적용한다.
• 역행 방식(induction)을 사용하여 균형 전략과 제어를 계산하며, $\Phi_k$, $v^{0,x}_k$, 및 상태 진화의 명시적 표현을 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다기준 평균-분산 포트폴리오 선택에서 비퇴화 조건을 유지하지 않고도 해법 가능성을 잃지 않고 제거할 수 있는가?
• RQ2 비퇴화 조건이 없는 상황에서 균형 해의 존재에 대한 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ3 혼합 균형 해법은 시간에 따라 일관성이 없는 포트폴리오 문제에서 개방형 제어와 피드백 균형 전략을 어떻게 일반화하는가?
• RQ4 시간에 따라 일관성이 없는 확률적 LQ 제어 이론의 이론적 프레임워크는 실질적인 다기준 평균-분산 포트폴리오 선택에 성공적으로 적용될 수 있는가?
• RQ5 초과 수익 행렬이 특이행렬이거나 가역적이지 않은 경우 균형 해법의 구조적 성질은 무엇인가?

주요 결과

• 초과 수익 행렬 $\mathcal{O}_k$에 대한 비퇴화 조건이 성공적으로 제거되어 균형 해법의 적용 범위가 넓어졌다.
• 해법 가능성을 다루는 방정식 시스템을 기반으로 $\mathcal{O}_k^\dagger$, $\mathcal{L}_k$, 및 $\theta_k$를 포함한 깔끔하고 명시적인 균형 해 존재 조건이 도출되었다.
• 다양한 $\phi$ 행렬을 가진 10개의 테스트 케이스 전부에서 $\mathcal{O}_k$가 가역적이라면 혼합 균형 해법이 존재하며, 이는 비영인 고유값을 통해 확인되었다.
• 제어 및 상태 역학의 닫힌 형식 표현을 포함하여 $\Phi_k$, $v^{0,x}_k$, 및 상태 진화 방정식을 통해 혼합 균형 해법이 명시적으로 구성되었다.
• 특수한 경우로 $\Phi_k = 0$로 설정하거나 개방형 부분이 초기 상태에 독립적이게 함으로써, 개방형 제어 균형 해법과 피드백 전략 균형 해법이 모두 통합 프레임워크의 특수 케이스로 포함된다.
• 수치 예제를 통해 초과 수익 행렬 $\mathcal{O}_k$가 최대 질량을 가지지 않더라도 무어-펜로즈 역행렬을 사용하면 균형 해법이 계산 가능하고 안정적임을 확인하였다.