[논문 리뷰] Equilibrium States for Expanding Thurston Maps

Zhiqiang Li|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 18.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 22인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 열린 투어스트론 맵이 2차원 구 위의 시각적 거리계를 갖는 경우, 열역학 체계를 이용하여 확장형 투어스트론 맵의 평형 상태의 존재성과 유일성을 확립한다. 이 평형 상태가 정확한 측도이자 혼합형이며 에르고딕하다는 것을 증명하고, 후행 반복에 의한 전이의 등분포 및 무작위 역행 궤도가 평형 상태로 수렴함을 보여준다. 이는 힐더 연속 잠재력에 대해 성립한다.

ABSTRACT

In this paper, we use the thermodynamical formalism to show that there exists a unique equilibrium state $μ_ϕ$ for each expanding Thurston map $f: S^2 ightarrow S^2$ together with a real-valued Hölder continuous potential $ϕ$. Here the sphere $S^2$ is equipped with a natural metric induced by $f$, called a visual metric. We also prove that identical equilibrium states correspond to potentials which are co-homologous upto a constant, and that the measure-preserving transformation $f$ of the probability space $(S^2,μ_ϕ)$ is exact, and in particular, mixing and ergodic. Moreover, we establish versions of equidistribution of preimages under iterates of $f$, and a version of equidistribution of a random backward orbit, with respect to the equilibrium state. As a consequence, all the above results hold for a postcritically-finite rational map with no periodic critical points on the Riemann sphere equipped with the chordal metric.

연구 동기 및 목표

• 2차원 구 위의 확장형 투어스트론 맵과 힐더 연속 잠재력에 대해 평형 상태의 존재성과 유일성을 확립한다.
• 맵의 동역학 하에서 평형 상태가 정확하므로 혼합형이며 에르고딕하다는 것을 증명한다.
• 전진 반복 하에서 점의 전이가 평형 상태로 등분포함을 보인다.
• 열역학 체계를 통해 최대 측도의 잠재력에 대한 기존 결과를 일반 힐더 잠재력으로 확장한다.
• 동치 잠재력이 상수 이동까지 동일한 평형 상태를 유도함을 보여준다.

제안 방법

• 확장형 투어스트론 맵에 의해 유도되는 시각적 거리계를 갖춘 2차원 구 $S^2$ 위에서 열역학 체계를 적용한다.
• 전이 연산자 $\phi$ 와 관련된 루엘 연산자 및 스펙트럼 이론을 적용하여 분석한다.
• 변이 원리를 활용하여 평형 상태를 측도론적 압력의 최대화 측도로 식별한다.
• 정규화된 전이 연산자 반복의 수렴을 이용하여 경험 측도의 약한* 수렴을 확보한다.
• 후스텐베르크와 키퍼의 마코프 과정 결과를 응용하여 무작위 역행 궤도의 거의 확실한 등분포를 증명한다.
• 잠재력의 힐더 연속성과 맵의 확장 성질에 기반하여 스펙트럼 간격과 수렴을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 각 확장형 투어스트론 맵과 $S^2$ 위의 실수값 힐더 연속 잠재력에 대해 유일한 평형 상태가 존재하는가?
• RQ2 평형 상태의 에르고딕 성질(예: 혼합성, 정확성)은 맵의 동역학과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 전진 반복 하에서 점의 전이가 평형 상태로 등분포하는가?
• RQ4 무작위 역행 궤도는 평형 상태를 유지하는가? 경험 측도가 약한* 수렴하는가?
• RQ5 평형 상태는 동치 잠재력에 대해 어느 정도 불변하는가?

주요 결과

• 각 확장형 투어스트론 맵 $f: S^2 \to S^2$ 와 실수값 힐더 연속 잠재력 $\phi$ 에 대해 유일한 평형 상태 $\mu_\phi$ 가 존재한다.
• 평형 상태 $\mu_\phi$ 는 정확하므로 혼합형이며 에르고딕하다. 이는 강력한 혼란 상태를 갖는 불변 측도임을 의미한다.
• 임의의 점의 전이가 전진 반복 하에서 $\mu_\phi$ 로 약한* 수렴함으로써 등분포함을 보여준다. 이는 $\nu_n$ 의 약한* 수렴으로 증명된다.
• 루엘 연산자 $\mathcal{L}_{\widetilde{\phi}}$ 를 이용해 생성된 무작위 역행 궤도는 거의 확실하게 $\mu_\phi$ 로 등분포한다.
• 동치 잠재력에 대한 평형 상태는 상수 이동을 제외하고 동일하므로 $\mu_\phi = \mu_{\phi + c}$ 를 만족한다.
• 모든 결과는 주어진 원점이 없는 후기극점 유한한 유리 함수에 대해 카드럴 거리계 하에서 2차원 구 위로 확장된다.