[논문 리뷰] Equilibrium Strategies for Time-Inconsistent Stochastic Switching Systems

Hongwei Mei, Jiongmin Yong|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 27.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 14인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 상태에 따라 변하는 제도 전환과 재귀적 비용 함수를 갖는 시간에 비일관적인 확률적 스위칭 시스템에 대한 균형 전략을 개발한다. 다인용 미분 게임 프레임워크를 통해 균형 힘학-벨만(HJB) 방정식을 유도하며, 특정 조건 하에서 그 잘 정의됨을 증명하고, 비지수 할인을 고려한 확률적 제어 문제에 대한 시간에 일관된 균형 전략을 수립한다.

ABSTRACT

An optimal control problem is considered for a stochastic differential equation containing a state-dependent regime switching, with a recursive cost functional. Due to the non-exponential discounting in the cost functional, the problem is time-inconsistent in general. Therefore, instead of finding a global optimal control (which is not possible), we look for a time-consistent (approximately) locally optimal equilibrium strategy. Such a strategy can be represented through the solution to a system of partial differential equations, called an equilibrium Hamilton-Jacob-Bellman (HJB, for short) equation which is constructed via a sequence of multi-person differential games. A verification theorem is proved and, under proper conditions, the well-posedness of the equilibrium HJB equation is established as well.

연구 동기 및 목표

• 비지수 할인을 고려한 확률적 스위칭 시스템에서 시간에 비일관적인 최적 제어 문제를 다루기 위해.
• 시간 비일관성으로 인해 전역 최적화가 불가능한 상황에서 시간에 일관된 균형 전략을 개발하기 위해.
• 다인용 미분 게임의 연속적 시퀀스를 통해 균형 힘학-벨만(HJB) 방정식을 구성하기 위해.
• 제어가 확산 계수에 영향을 주지 않는 경우에 대해 균형 HJB 방정식의 잘 정의됨을 확립하기 위해.
• 검증 정리를 제시하고, 파wr 유용성과 제도 전환 역학을 포함한 구체적 예시를 통해 접근법을 설명하기 위해.

제안 방법

• 포아송 랜덤 측도와 점프 SDE로 제어되는 제도 과정을 통해 상태에 따라 변하는 제도 전환을 갖는 제어된 확률적 미분방정식을 수립한다.
• 비지수 할인을 고려한 재귀적 비용 함수를 도입하여 최적 제어 문제의 시간 비일관성을 유도한다.
• 시간 일관성을 확보하기 위해 문제를 다인용 미분 게임의 연속적 시퀀스로 모델링하여 균형 HJB 방정식을 구성한다.
• 유도된 균형 전략이 균형 조건을 만족하는지 확인하기 위해 검증 정리를 도출한다.
• 특정 예시에 프레임워크를 적용하여, 파워 함수를 포함한 앤사츠를 통해 균형 HJB 시스템을 해결한다.
• 제어가 확산 계수에 영향을 주지 않는 특수한 경우에 대해 균형 HJB 방정식의 잘 정의됨을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비지수 할인을 고려한 확률적 스위칭 시스템에서 시간에 일관된 균형 전략은 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 상태에 따라 변하는 전환 강도를 갖는 제도 전환 SDE에 대해 균형 HJB 방정식의 구조는 어떠한가?
• RQ3 제어가 확산 계수에 영향을 주지 않는 경우에 대해 균형 HJB 방정식이 잘 정의되기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ4 이 시간 비일관성 프레임워크에서 유도된 균형 전략에 대해 검증 정리를 확립할 수 있는가?
• RQ5 상태에 따라 변하는 제도 전환은 연속적인 해의 의존성과 그로 인한 제어 전략에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 균형 전략은 시간 비일관성 제어 문제에서 시간에 일관된 행동을 반영하는 부분 미분방정식 시스템인 균형 HJB 방정식의 해로서 도출된다.
• 균형 HJB 방정식은 다인용 미분 게임의 연속적 시퀀스를 통해 구성되며, 균형 선택을 위한 엄밀한 프레임워크를 제공한다.
• 확산 계수가 제어에 영향을 주지 않는 경우, 균형 HJB 방정식의 잘 정의됨이 입증되어 해의 존재성과 유일성을 보장한다.
• 해의 존재성과 유일성을 보장하는 검증 정리가 증명되었으며, 이는 적절한 정규성 및 성장 조건 하에서 유도된 전략이 균형 조건을 만족함을 확인한다.
• 파워 유용성과 함께 제도 전환 역학을 포함한 특정 예시에서, 균형 전략은 $ \bar{u}(s,x,i) = -\frac{b(i)x}{(1-\gamma)\sigma(i)^2} $ 와 소비 $ \bar{c}(s,x,i) = \left(\frac{g(s,s)}{\varphi(s,s,i)}\right)^{1/(1-\gamma)}x $ 로 명시적으로 계산되며, $ \varphi $ 는 상미분방정식 시스템의 해이다.
• 적절한 조건 하에서 균형 HJB 시스템의 해가 잘 정의됨이 입증되어 실용적 구현을 위한 접근법의 타당성을 검증한다.