[논문 리뷰] Equilibrium with coherent risk

Alexander S. Cherny|ArXiv.org|2006. 05. 02.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 13인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 일관된 위험 측도 하에서 금융 균형에서 국소 최적과 경쟁 최적의 동치성을 확립하며, 생성자들을 사용한 이중 기술과 명시적 기하학적 해를 제공한다. 세 가지 형태의 최적 가격 정책을 도입하고, 제약 조건이 있는 균형 가격이 집합 위험 함수의 최소화를 통해 계산될 수 있음을 증명하여, 전통적인 일반균형 이론을 시장 비효율성(거래비용, 포트폴리오 제약, 모호한 확률 측도 등)이 존재하는 일관된 위험 프레임워크로 확장한다.

ABSTRACT

This paper is the continuation of "Pricing with coherent risk" and deals with further applications of coherent risk measures to problems of finance. First, we study the optimization problem. Three forms of this problem are considered. Furthermore, the results obtained are applied to the optimality pricing. Again three forms of this technique are considered. Finally, we study the equilibrium problem both in the unconstrained and in the constrained forms. We establish the equivalence between the global and the competitive optima and give a dual description of the equilibrium. Moreover, we provide an explicit geometric solution of the constrained equilibrium problem. Most of the results are presented on two levels: on a general level the results have a probabilistic form; for a static model with a finite number of assets, the results have a geometric form.

연구 동기 및 목표

• 일관된 위험 측도를 고려한 모델로 일반균형 이론을 확장하여 거래비용, 포트폴리오 제약, 모호한 확률 측도 등의 시장 비효율성을 다루는 것.
• 일관된 위험 하에서 균형에서 국소 최적과 경쟁 최적의 동치성을 확립하여 고전적 파레토-경쟁 동치성의 일반화를 이루는 것.
• 볼록 해석과 위험 측도의 이중성에 기반한 균형의 이중 기술을 제공하여 균형 가격의 명시적 계산을 가능하게 하는 것.
• 에이전트 독립적, 단일 에이전트, 다중 에이전트의 세 가지 서로 다른 최적 가격 정책 기법을 개발하여 각각 다른 가정 하에서 공정한 가격을 도출하는 것.
• 위험 측도의 생성자 개념을 활용하여 제약 조건이 있는 균형 문제에 대한 명시적 기하학적 해법을 도출하여 균형 가격과 포트폴리오의 계산을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 포트폴리오 최적화와 균형 분석의 기초로 일관된 위험 측도를 사용하여 분산 대신 더 견고한 위험 평가로 대체하는 것.
• 이전 연구에서 도입된 생성자 이론을 활용하여 유한차원 모델에서 최적화 및 균형 문제에 대한 기하학적 해법을 제공하는 것.
• 볼록 이중성을 활용하여 위험 함수의 하한 콘볼루션을 통해 균형 가격을 기술하고, 균형의 이중 특성화를 이끌어내는 것.
• 시장 청산 조건과 예산 제약 조건 하에서 개인 위험 함수의 합을 최소화하는 변분 문제의 해로 균형을 모델링하는 것.
• 특히 제약 조건이 있는 설정에서 균형 가격 집합을 기술하기 위해 극한 측도와 생성 집합의 개념을 도입하는 것.
• 에이전트들이 위험 제약 조건과 거래 전략 하에서 효용을 최대화하는 아워-드브류 프레임워크를 통해 균형 조건을 유도하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일관된 위험 측도가 존재하는 금융 시장에서 국소 최적과 경쟁 최적이 언제 동치가 되는가?
• RQ2 에이전트들이 서로 다른 위험 측도를 사용할 경우 최적 가격 정책은 어떻게 형식화할 수 있으며, 그로 인해 도출되는 공정 가격 범위는 무엇인가?
• RQ3 거래비용과 포트폴리오 제약 조건이 존재하는 제약 조건이 있는 시장에서 균형 가격 벡터의 이중 표현은 무엇인가?
• RQ4 위험 측도의 생성자들을 사용하여 제약 조건이 있는 균형 문제를 기하학적으로 해결할 수 있는가? 만약 가능하다면 그 방법은 무엇인가?
• RQ5 에이전트 독립적, 단일 에이전트, 다중 에이전트의 각각 다른 가격 정책 기법은 공정 가격 범위 측면에서 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 일관된 위험 측도 하에서 국소 최적과 경쟁 최적이 동치이며, 고전적 복지 정리들을 일관된 유틸리티 프레임워크로 일반화한다.
• 균형 가격 집합은 $ E = \mathop{\rm argmin}_{x\in G} f(x) $ 로 주어지며, 여기서 $ f(x) = \sum_n f_n(x) $ 이고, 각 $ f_n(x) $ 는 에이전트 $ n $ 에 대한 하한 위험 함수이다.
• 제약 조건이 있는 균형의 경우, 균형 가격 벡터는 개별 위험 함수 $ f_n(x) $ 의 합의 최소화자로 명시적으로 계산되며, 이는 위험 측도 하에서 기대 자산의 하한을 정의한 것이다.
• 다중 에이전트 최적 가격 정책 기법은 개별 공정 가격의 볼록 hull 과 동일한 공정 가격 범위를 도출하여 집단적 위험 선호도를 반영한다.
• 에이전트 독립적 최적 가격 정책은 동일한 위험 측도와 역사적 확률을 가진 모든 에이전트에게 동일한 공정 가격을 도출하며, 일관된 위험 하에서 놀라운 결과이다.
• 위험 측도의 생성자 개념을 활용하여 제약 조건이 있는 균형 문제에 대한 명시적 기하학적 해법을 제공하며, 그림 11은 이중 자산 설정에서의 해를 시각화하고 있다.