[논문 리뷰] Equipartition of several measures

Роман Карасев|arXiv (Cornell University)|2010. 11. 22.

Point processes and geometric inequalities참고 문헌 17인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 $ d $ 개의 절대 연속 확률 측도가 $ \mathbb{R}^d $ 내에 있을 때, $ q $ 가 소수 거듭제곱이면 볼록 분할을 사용해 동시에 $ q $ 개의 동일한 부분으로 나누어 떨어지게 할 수 있음을 증명한다. 증명은 그로모프의 보르스키-울람 정리 일반화와 구성 공간의 코homology 레미를 기반으로 한 위상적 방법에 의존하며, 측도 등분할과 목걸이 분할 문제를 고차원 및 다수의 측도로 확장한다.

ABSTRACT

We prove several results of the following type: any $d$ measures in $\mathbb R^d$ can be partitioned simultaneously into $k$ equal parts by a convex partition (this particular result is proved independently by Pablo Soberón). Another example is: Any convex body in the plane can be partitioned into $q$ parts of equal areas and perimeters provided $q$ is a prime power. The above results give a partial answer to several questions posed by A. Kaneko, M. Kano, R. Nandakumar, N. Ramana Rao, and I. Bárány. The proofs in this paper are inspired by the generalization of the Borsuk--Ulam theorem by M. Gromov and Y. Memarian. The main tolopogical tool in proving these facts is the lemma about the cohomology of configuration spaces originated in the work of V.A. Vasil'ev. A newer version of this paper, merged with the similar paper of A. Hubard and B. Aronov is {arXiv:1306.2741}.

연구 동기 및 목표

• 다양한 측도가 $ \mathbb{R}^d $ 내에서 볼록 영역을 사용해 동시에 동일한 부피를 가진 부분으로 나누어지는 조건을 설정하는 것.
• 칸에코, 카노, 난다카무르, 로, 바라니가 제기한 측도 등분할 및 볼록 분할 문제의 열린 문제를 해결하는 것.
• 보통의 '햄 샌드위치 정리'를 $ q > 2 $ 개의 부분으로 확장하여, 특히 소수 거듭제곱인 $ q $ 에 대해 위상적 도구를 사용하는 것.
• 모든 볼록 영역이 평면상에서 $ q $ 개의 동일한 면적과 둘레를 가진 볼록 부분으로 나누어질 수 있음을 증명하는 것, 여기서 $ q $ 는 소수 거듭제곱이다.

제안 방법

• 함수 비교를 통한 일반화된 베르누이 분할을 정의하기 위해 $ C(X) $ 의 차원 $ n+1 $ 인 측도 분리 부분공간 $ L \subset C(X) $ 를 사용한다.
• 구성 공간에서 구면으로의 $ \Sigma_q $-등변 매핑을 구성하기 위해 그로모프의 보르스키-울람 정리 일반화를 적용한다.
• 대칭적 제약 조건의 영점 해를 탐지하기 위해 구성 공간의 코homology에 대한 바실iev의 보조정리를 활용한다.
• 측도와 함수의 등분포를 인코딩하는 매핑 $ f_i: F_q(L) \to \alpha_q $ 를 구성하여 대칭성과 연속성을 보장한다.
• 구성 공간 내에서 비어 있지 않은 부분 조건을 다루기 위해 $ \Sigma_q $-등변 확장 기법을 사용한다.
• 콤팩트 지지 측도에서 일반적인 확률 측도로 결과를 확장하기 위해 근사화 기법을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 만약 $ q $ 가 소수 거듭제곱이면 $ \mathbb{R}^d $ 내의 $ d $ 개의 측도를 볼록 분할을 사용해 $ q $ 개의 동일한 부분으로 나눌 수 있는가?
• RQ2 평면상의 볼록 영역을 소수 거듭제곱인 $ q $ 개의 부분으로 나누어 동일한 면적과 둘레를 가질 수 있는가?
• RQ3 $ r $ 명의 도둑과 $ n $ 개의 측도에 대한 목걸이 분할 정리가 다항식 봉투를 사용해 위상적 등분할 원리로부터 유도될 수 있는가?
• RQ4 차수 $ \leq n $ 인 $ q $ 개의 다항식의 상한 봉투 내에서 비해석적 점의 최대 개수는 얼마이며, 이는 등분할 제약 조건과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 구성 공간의 코homology는 측도 분할 문제의 대칭적 해를 어떻게 구성하는 데 기여하는가?

주요 결과

• $ \mathbb{R}^d $ 내에 있는 임의의 $ d $ 개의 절대 연속 확률 측도는 $ q $ 가 소수 거듭제곱일 때 볼록 분할을 통해 $ q $ 개의 동일한 부분으로 나누어질 수 있다.
• $ \mathbb{R}^2 $ 내의 임의의 볼록 영역은 소수 거듭제곱인 $ q $ 에 대해 $ q $ 개의 동일한 면적과 둘레를 가진 볼록 부분으로 나누어질 수 있다.
• $ q $ 가 소수 거듭제곱이면 차수 $ \leq n $ 인 $ q $ 개의 다항식의 상한 봉투는 최소 $ n(q-1) $ 개의 비해석적 점을 가져야 하며, 이는 전환점에 대한 하한을 의미한다.
• 결과는 하우스도르프 거리에서 연속 기능에 대해 슈타이너 측도 및 기타 기능에 대해 확장되어 각 부분에 균일하게 분포함을 보장한다.
• 소수 거듭제곱이 아닌 $ q $ 에 대해서는 소수 거듭제곱 구성의 반복을 통해 결과를 달성할 수 있지만, 이 경우 더 이상 일반화된 베르누이 분할이 아닐 수 있다.
• 차수 $ n \geq 3 $ 에 대해 $ q $ 개의 차수-$ n $ 다항식의 상한 봉투가 최대 $ n(q-1) $ 개의 전환점만 가진다는 잘못된 추측은 Davenport–Schinzel 수열을 통해 반증되었으며, $ \Omega(q\alpha(q)) $ 성장이 보여진다.