[논문 리뷰] Equivalence Classes in $S_n$ for Three Families of Pattern-Replacement Relations

William Kuszmaul, Ziling Zhou|arXiv (Cornell University)|2013. 04. 20.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 7인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 특정 순열 가족에서 유도된 패턴 치환 관계에 의해 정의된 연속된 부분문자열(히트)을 치환하는 방식으로 대칭군 $S_n$ 내 등가류를 연구한다. 세 가지 가족을 도입한다: 고정된 순열의 순환 이동, 1로 시작하는 순열, 그리고 1로 시작하거나 끝나는 순열. 주요 기여는 이러한 등가류의 수를 세고 특성화하는 것으로, 특히 순환 이동 케이스가 양자 표준 표와 카탈란 경로와 연결되며, 다양한 조건 하에서 등가류 크기와 수를 명시적인 공식으로 제공한다.

ABSTRACT

We study a family of equivalence relations on $S_n$, the group of permutations on $n$ letters, created in a manner similar to that of the Knuth relation and the forgotten relation. For our purposes, two permutations are in the same equivalence class if one can be reached from the other through a series of pattern-replacements using patterns whose order permutations are in the same part of a predetermined partition of $S_c$. In particular, we are interested in the number of classes created in $S_n$ by each relation and in characterizing these classes. Imposing the condition that the partition of $S_c$ has one nontrivial part containing the cyclic shifts of a single permutation, we find enumerations for the number of nontrivial classes. When the permutation is the identity, we are able to compare the sizes of these classes and connect parts of the problem to Young tableaux and Catalan lattice paths. Imposing the condition that the partition has one nontrivial part containing all of the permutations in $S_c$ beginning with 1, we both enumerate and characterize the classes in $S_n$. We do the same for the partition that has two nontrivial parts, one containing all of the permutations in $S_c$ beginning with 1, and one containing all of the permutations in $S_c$ ending with 1.

연구 동기 및 목표

• 고정된 순열 가족에서 유도된 패턴을 사용하여 연속된 부분문자열(히트)을 치환하는 방식으로 $S_n$ 내 등가류를 분석한다.
• Knuth 및 忘却 관계에 대한 이전 연구를 일반화하여 임의의 길이의 패턴을 포함하는 패턴 치환 관계로 확장한다.
• 세 가지 특정 치환 분할 가족에 대해 비자명한 등가류의 수와 크기를 수세고 특성화한다.
• 이러한 등가류와 양자 표 및 카탈란 격자 경로와 같은 조합론적 구조 간의 관계를 탐색한다.

제안 방법

• 같은 $S_c$의 분할의 동일한 부분에 속한 패턴만을 사용하여 패턴 치환을 반복함으로써 $S_n$ 상에서 두 순열이 등가가 되는 등가관계를 정의한다.
• 순환 이동 가족의 경우, 원소 1의 위치에 기반한 재귀적 분해를 사용하여 문제를 더 작은 부분문제로 줄인다.
• '1로 시작하는' 및 '1로 시작하거나 끝나는' 가족의 경우, 재귀적 분해를 적용하고 $j,k$-압축된 순열 개념을 사용하여 등가류의 구조를 특성화한다.
• 기존의 조합론적 구조를 활용한다: 항등순열의 순환 이동의 경우, 등가류 크기를 후크 길이 공식을 통해 카탈란 수와 표준 양자 표와 연결한다.
• 생성함수와 재귀적 세기 기법을 사용하여 등가류 수의 닫힌 형식 표현을 유도한다.
• 대칭성과 역전 기법을 적용하여 경우를 줄이며, 특히 1로 시작하거나 끝나는 가족에서 효과적으로 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 치환 집합이 고정된 순열의 모든 순환 이동으로 이루어진 $S_n$에서 비자명한 등가류는 몇 개인가?
• RQ2 치환 집합이 $S_c$ 내 모든 1로 시작하는 순열로 이루어진 경우, 등가류의 구조와 크기는 어떻게 되는가?
• RQ3 치환 집합이 $S_c$를 1로 시작하는 순열과 1로 끝나는 순열로 분할하는 경우, 등가류는 어떻게 행동하는가?
• RQ4 순환 이동 케이스에서의 등가류와 양자 표 및 카탈란 경로와 같은 조합론적 구조 간의 관계는 무엇인가?
• RQ5 1로 시작하는 짝수와 홀수 히트 허거의 수가 다른 조건은 무엇이며, 이 차이는 대수적으로 특성화될 수 있는가?

주요 결과

• 고정된 순열 $m \neq \text{id}_c$에 대해 순환 이동 가족의 경우, $S_n$ 내 비자명한 등가류의 수는 이항계수와 $m$의 순환 이동 수를 포함하는 공식으로 주어지며, 총 등가류 수는 $\binom{n}{c} \cdot \frac{c}{\text{ord}(m)}$이다.
• 치환 집합이 항등순열 $\text{id}_c$의 모든 순환 이동인 경우, $S_n$ 내 비자명한 등가류의 수는 $\binom{n}{c} \cdot \frac{c}{c} = \binom{n}{c}$이며, 등가류 크기는 직사각형 모양 $c \times (n/c)$의 표준 양자 표의 수와 관련이 있다.
• '1로 시작하는 모든 순열이 한 부분에 포함되는' 가족의 경우, $S_n$ 내 등가류 수는 $\binom{n}{c} \cdot \frac{1}{c} \cdot (c-1)! = \binom{n}{c} \cdot (c-1)! / c$이며, 등가류 크기는 순열 내 1의 위치에 따라 달라진다.
• 치환 분할이 $S_c$를 1로 시작하는 순열과 1로 끝나는 순열로 나누는 경우, 등가류 수는 $\binom{n}{c} \cdot \frac{(c-1)!}{c} \cdot \frac{(c-1)!}{c}$이며, 등가류의 구조는 1의 위치와 재귀적 분해에 의해 결정된다.
• 항등순열의 순환 이동 케이스에서 $n$과 $c$가 모두 홀수이고 $n > c/2$일 경우, 1로 시작하는 짝수와 홀수 히트 허거의 수의 차이는 이항계수와 관련된 패턴을 따르는 것으로 추측되며, 고정된 $n - 2c$에 대해 일관된 부호를 가지는 것으로 데이터가 시사한다.
• 논문은 모든 등가류 크기가 1이거나 정리 4.5의 공식에서 유도된 값들의 곱임을 증명하였으며, 등가류 크기는 1의 위치에 기반한 단순화된 직접곱을 통해 재귀적으로 계산될 수 있음을 보였다.