[논문 리뷰] Equivalence of critical and subcritical sharp Trudinger-Moser-Adams inequalities

Nguyen Lam, Guozhen Lu외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 19.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 15인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 유클리드 공간에서 임계 및 초임계 예측 Trudinger-Moser-Adams 부등식 간의 동치성을 확립하며, 두 경우 모두 최적 상수와 Supremum의 渐近적 행동이 동일하다는 것을 증명한다. 저자들은 척도 변환과 대칭화 기법을 사용하여 한 유형의 결과를 다른 유형으로 이전할 수 있음을 보이며, Sobolev 공간에서 이러한 부등식을 연구하는 통합된 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

Sharp Trudinger-Moser inequalities on the first order Sobolev spaces and their analogous Adams inequalities on high order Sobolev spaces play an important role in geometric analysis, partial differential equations and other branches of modern mathematics. Such geometric inequalities have been studied extensively by many authors in recent years and there is a vast literature. There are two types of such optimal inequalities: critical and subcritical sharp inequalities, both are with best constants. Critical sharp inequalities are under the restriction of the full Sobolev norms for the functions under consideration, while the subcritical inequalities are under the restriction of the partial Sobolev norms for the functions under consideration. There are subtle differences between these two type of inequalities. Surprisingly, we prove in this paper that these critical and subcritical Trudinger-Moser and Adams inequalities are actually equivalent. Moreover, we also establish the asymptotic behavior of the supremum for the subcritical Trudinger-Moser and Adams inequalities on the entire Euclidean spaces (Theorem 1.1 and Theorem 1.3) and provide a precise relationship between the supremums for the critical and subcritical Trudinger-Moser and Adams inequalities (Theorem 1.2 and Theorem 1.4).

연구 동기 및 목표

• 임계 및 초임계 예측 Trudinger-Moser-Adams 부등식이 최적 상수와 극값 행동 측면에서 동치인지 여부에 대한 오랫동안 남아있던 질문을 해결하기 위해.
• 전체 유클리드 공간에서 초임계 Trudinger-Moser 및 Adams 부등식의 Supremum의 渐近적 행동을 규명하기 위해.
• 임계 및 초임계 부등식의 Supremum 간 정량적 관계를 정밀하게 규명하여 두 설정 간 결과 이전을 가능하게 하기 위해.
• 임계 부등식을 초임계 부등식을 통해 증명할 수 있고, 그 반대도 가능한 새로운 방법론적 프레임워크를 개발하기 위해.
• 고계 Sobolev 노름과 지수형 Orlicz 노름을 포함하는 임베딩 정리에서 극값 함수와 최적 상수에 대한 이해를 확장하기 위해.

제안 방법

• 일반 함수를 동일한 $ L^p $-노름과 기울기 노름을 유지하는 구면 대칭 함수로 줄이기 위해 대칭화 및 재배열 기법, 특히 Schwarz 재배열을 사용하기 위해.
• 전체 Sobolev 노름의 제약 조건을 유지하면서 재배열 하에서 기울기의 $ L^N $-노름을 제어하기 위해 Pólya-Szegö 부등식을 적용하기 위해.
• 기울기 노름을 1로 정규화하고 초임계와 임계 사례를 연결하기 위해 척도 변환 $ v(x) = u(\theta^{-1}x)/\theta $ 를 활용하기 위해.
• 특히 Adams 유형 부등식을 다루기 위해 필수적인 멱함수 가중치 $ |x|^{-\beta} $ 를 가진 가중치가 부여된 Trudinger-Moser 유형 적분을 분석하기 위해 기능 $ GATA(\alpha, \beta) $ 를 도입하기 위해.
• 지수형 적분 $ \phi_N(t) = e^t - \sum_{j=0}^{N-2} \frac{t^j}{j!} $ 를 분석하기 위해 층층대표 표현과 Young 함수 분해를 사용하기 위해.
• 유클리드 공간 $ \mathbb{R}^N $ 내의 동차성과 척도 불변성에 기반하여 알려진 최적 상수 $ \beta_0(N,\gamma) $ 와의 비교를 통해 균일한 상한을 확립하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임계 및 초임계 예측 Trudinger-Moser-Adams 부등식의 최적 상수가 동일한가?
• RQ2 지수 $ \alpha $ 가 임계 임계점에 접근함에 따라 초임계 Trudinger-Moser 및 Adams 부등식의 Supremum의 정밀한 渐近적 행동은 무엇인가?
• RQ3 임계 사례에서 극값 함수의 존재성이 초임계 사례에 대한 결과를 유추하는 데 사용될 수 있는가, 그 반대도 가능한가?
• RQ4 임계 및 초임계 부등식의 Supremum 값 간의 정량적 관계는 무엇인가?
• RQ5 고계 Sobolev 공간 $ W^{\gamma,p}(\mathbb{R}^N) $ 에서 임계 및 초임계 부등식 간의 동치성은 성립하는가?

주요 결과

• 임계 및 초임계 예측 Trudinger-Moser-Adams 부등식은 최적 상수와 Supremum의 渐近적 행동이 동일하므로 동치이다.
• $ \mathbb{R}^N $ 에서의 초임계 Trudinger-Moser 부등식의 Supremum은 $ \alpha \uparrow \alpha_N $ 로 갈수록 임계 Supremum으로 수렴하며, 이에 대한 정밀한 속도는 매개변수 $ a, b $, 및 $ N $ 에 의해 결정된다.
• $ W^{\gamma, N/\gamma}(\mathbb{R}^N) $ 에서의 Adams 부등식에 대해, $ \int_{\mathbb{R}^N} \frac{\phi_{N,\gamma}(\beta_0(N,\gamma)(1-\beta/N)|u|^{p/(p-1)})}{|x|^\beta} dx $ 의 가중치가 부여된 적분의 Supremum은 $ N, \beta, a, b $ 에만 의존하는 상수에 의해 균일하게 유계이다. 이는 $ \alpha $ 에 무관하다.
• 증명은 만약 초임계 Supremum이 $ \alpha \to \beta(N,2) $ 로 갈수록 발산한다면, 임계 사례의 유계성과 모순됨을 보여, 귀류법을 통해 동치성을 증명한다.
• 이 동치성은 결과 이전을 가능하게 하며, 만약 어떤 설정에서 임계 부등식이 더 쉽게 증명된다면 초임계 사례도 따라오며, 그 반대도 마찬가지다.
• 이 방법은 척도화 및 정규화를 통해 상호로 환원함으로써 임계 및 초임계 부등식을 모두 증명하는 데 새로운 접근법을 제공한다.