[논문 리뷰] Equivalence of inverse problems for 2D elasticity and for the thin plate with finite measurements and its applications

Hyeonbae Kang, Graeme W. Milton외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 03. 17.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유한한 경계 측정치를 가진 2차원 선형 탄성과 얇은 판의 굽힘 사이의 엄밀한 수학적 동치성을 확립한다. 경계 데이터(탄성의 경우 이동과 응력; 판의 경우 도막과 모멘트) 간의 명시적이고 역행 가능한 관계를 증명함으로써, 한 시스템의 역문제를 해결하는 것은 다른 시스템의 해당 문제를 해결하는 것과 동치임을 보여주며, 이는 비등방성 및 공간적으로 변화하는 재료에 대해서도 체적 분율 한계와 포함체 크기 추정치 등의 결과를 두 프레임워크 간 이식할 수 있게 한다.

ABSTRACT

In this paper, we prove that the inverse problems for 2D elasticity and for the thin plate with boundary data (finite or full measurements) are equivalent. Having proved this equivalence, we can solve inverse problems for the plate equation with boundary data by solving the corresponding inverse problems for 2D elasticity, and vice versa. For example, we can derive bounds on the volume fraction of the two-phase thin plate from the knowledge of one pair of boundary measurements using the known result for 2D elasticity \cite{ml}. Similarly, we give another approach to the size estimate problem for the thin plate studied by Morassi, Rosset, and Vessella \cite{mrv07, mrv09}.

연구 동기 및 목표

• 유한한 경계 측정치 하에서 2차원 선형 탄성과 얇은 판 굽힘에 대한 역경계값 문제 간의 정밀한 수학적 동치성을 확립하기 위해.
• 탄성의 경우 이동과 응력, 판의 경우 도막, 법선 도함수 및 굽힘/비틀림 모멘트의 경계 데이터 간에 명시적이고 역행 가능한 관계를 유도하기 위해.
• 체적 분율 추정 및 포함체 크기 탐지 등의 역문제가 두 모델 간에 동치임을 보여주어 기존 결과의 이식을 가능하게 하기 위해.
• 특히 크기 추정치와 재료 체적 분율에 대한 한계에 관한 기존의 역문제 결과 프레임워크를 얇은 판에 적용 가능하게 하기 위해, 수립된 동치성에 기반하여 적용 범위를 확장하기 위해.
• 비등방성 및 비균질 매질에서의 역문제 해결을 위한 이론적 기반을 제공하기 위해, 다른 시스템의 결과를 활용하기 위해.

제안 방법

• 2차원 탄성에서의 이동장과 응력 벡터를 얇은 판의 도막, 법선 도함수 및 굽힘/비틀림 모멘트로 매핑하는 명시적 공식을 유도한다.
• 단순 연결 영역에서 2차원 탄성 방정식과 얇은 판 방정식 간의 알려진 동치성에 기반하여 후크의 법칙과 기르히호프-로브 플레이트 이론을 활용한다.
• 유도된 경계 데이터 대응 관계 하에서 2차원 탄성의 딜리클레-노이만 맵이 판 방정식의 노이만-디릴레클 맵과 대응하고, 그 반대도 마찬가지로 성립함을 증명한다.
• 동치성을 적용하여 기존 결과를 이식: 밀턴과 뉴이잔(2012)이 2차원 탄성에 대해 유도한 체적 분율 한계를 얇은 판 모델로 이식한다.
• 동치성을 활용하여 얇은 판 내 포함체의 크기 추정 결과를 2차원 탄성에 대한 기존의 역문제 해법을 통해 재유도한다(앨레산드리, 모라시, 로셋, 2008).
• 비등방성 및 비균질 매질에 대한 프레임워크를 확장하기 위해, 판의 탄성 텐서를 기초 탄성 모델의 연성 텐서로 표현하고, 두 시스템에서 동일한 조건 하에 삼구간 부등식의 이분성 조건이 유지됨을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한한 경계 측정치를 가진 얇은 판 방정식의 역문제는 2차원 선형 탄성의 동치 역문제로 환원될 수 있는가?
• RQ2 2차원 탄성(이동과 응력)의 경계 데이터와 얇은 판(도막, 법선 도함수, 굽힘 및 비틀림 모멘트)의 경계 데이터 간에 어떤 명시적 수학적 관계가 존재하는가?
• RQ3 두 시스템의 비등방성 및 공간적으로 변화하는 물성에 대해 이 두 역문제 간의 동치성이 유지되는가?
• RQ4 2차원 탄성에서의 체적 분율 추정에 관한 기존 결과가 이 동치성을 통해 얇은 판 모델에 직접 적용될 수 있는가?
• RQ5 특히 삼구간 부등식 프레임워크 하에서, 얇은 판 내 포함체의 크기 추정 결과는 2차원 탄성의 동치 결과를 통해 재유도될 수 있는가?

주요 결과

• 유한한 경계 측정치를 가진 얇은 판 방정식의 역문제는 유한한 경계 측정치를 가진 2차원 선형 탄성의 역문제와 수학적으로 동치이다.
• 명시적이고 역행 가능한 경계 데이터 간의 관계가 확립되었으며, 2차원 탄성의 이동과 응력은 얇은 판의 도막, 법선 도함수 및 모멘트를 결정하고, 그 반대도 마찬가지로 성립한다.
• 밀턴과 뉴이잔(2012)이 2차원 탄성에 대해 유도한 결과를 바탕으로, 이 논문에서 수립한 동치성에 의해 이중성 얇은 판의 체적 분율 한계를 도출할 수 있다.
• 모라시, 로셋, 베셀라가 연구한 얇은 판 내 포함체의 크기 추정 문제는 2차원 탄성에서 동일한 문제와 동치이며, 이는 앨레산드리, 모라시, 로셋(2008)이 해결했고, 2009년에 수정되었다.
• 비등방성 및 비균질 매질에서, 동치 조건이 해당 플레이트 모델에 대해 성립할 경우, 단일 경계 측정치로 2차원 탄성 내 미지의 포함체 크기를 이분성 조건 하에서 추정할 수 있다.
• 삼구간 부등식이 포함된 얇은 판 방정식의 삼구간 부등식은 유도된 데이터 대응 관계 하에서 2차원 탄성의 삼구간 부등식과 동치이며, 두 시스템 모두에서 기름진 조건의 타당성과 그로 인한 정량적 추정치의 유효성이 유지된다.