[논문 리뷰] Equivalence of plurisubharmonic singularities and Siu-type metrics

Dano Kim|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 24.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 16인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 다중하르모닉 함수의 특이성 유형이 Lelong 수로 유일하게 결정될 수 없음을 보여준다. 심지어 승수 이상의 아이디얼 sheaf가 일치하더라도 그렇다. 이는 비유한 생성의 단면 링을 가진 큰 선다발 위에 Siu 유형의 특이 힐베르트 메트릭의 무한한 가족을 구성함으로써 이루어지며, 이 가족은 모두 동일한 승수 이상의 아이디얼 sheaf와 Lelong 수를 가지지만, 상호 간에 등가가 아닌 특이성을 지닌다. 따라서 분석적 경우를 초월해 특이성의 유일성이 실패함을 증명한다.

ABSTRACT

We show by an example that the (equivalence class of) singularity of a plurisubharmonic function cannot be determined by the data of its Lelong numbers, in a nontrivial sense. Such an example is provided by Siu-type singular hermitian metrics associated to an effective line bundle. We also show that a Siu-type metric has analytic singularities if and only if the section ring of the line bundle is finitely generated.

연구 동기 및 목표

• 다중하르모닉 함수의 특이성 유형이 그 Lelong 수로 유일하게 결정되는지 조사하기.
• 선다발의 단면 링의 유한 생성성과 그 Siu 유형 메트릭의 해석적 성질 사이의 관계를 검토하기.
• 승수 이상의 아이디얼 sheaf가 동일하고 Lelong 수가 일치하는 바탕이 되는 등가가 아닌 특이성을 지닌 명시적 반례를 구성하기.
• 특히 단면 링의 유한 생성성과 관련하여 Siu 유형 메트릭이 해석적 특이성을 가지는 조건을 명확히 하기.

제안 방법

• Q-효율적 선다발 위에서 Siu 유형의 특이 힐베르트 메트릭을 사용해 비자명한 전역 예제를 구성하기.
• Demailly 근사화를 통해 Guan과 Zhou의 강한 개방 정리를 사용해 승수 이상의 아이디얼 sheaf를 동치로 만들기.
• Boucksom-Favre-Jonsson의 (B-1)과 (B-2)의 등가성과 강한 개방 정리를 적용하여 특이성 비교하기.
• 로그-해결과 Demailly 근사화 수열을 사용해 적절한 수정 위에서 특이성 분석하기.
• 모순과 최소 메트릭과의 비교를 통해 Siu 유형 메트릭이 해석적 특이성을 가진다면 단면 링이 반드시 유한 생성되어야 한다는 것을 증명하기.
• 승수 이상의 아이디얼 포함 사슬 $\mathcal{J}(h_{\min}^m) \subset \mathcal{J}(h_{\text{Siu},i}^m) \subset \mathcal{J}(h_{\min}^m)$ 과 개방 정리를 이용해 아이디얼의 등가성을 유도하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다중하르모닉 함수의 특이성 유형은 그 Lelong 수로 유일하게 결정될 수 있는가?
• RQ2 동일한 승수 이상의 아이디얼 sheaf와 Lelong 수를 가진 Siu 유형 메트릭은 반드시 특이성에서 등가인가?
• RQ3 선다발의 단면 링의 유한 생성성과 그 Siu 유형 메트릭의 해석적 성질 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ4 승수 이상의 아이디얼 sheaf와 Lelong 수가 동일한 무한한 개의 등가가 아닌 Siu 유형 메트릭의 가족을 구성할 수 있는가?
• RQ5 언제 Siu 유형 메트릭이 해석적 특이성을 가지지 못하는가?

주요 결과

• 비유한 생성의 단면 링을 가진 큰 선다발 위에 Siu 유형 메트릭의 무한한 가족 $\{e^{-\varphi_i}\}_{i \in I}$ 이 존재하며, 모든 $m > 0$ 과 $j \neq k$ 에 대해 $\mathcal{J}(m\varphi_j) = \mathcal{J}(m\varphi_k)$ 이지만, $\varphi_j$ 와 $\varphi_k$ 는 특이성에서 등가가 아니다.
• Siu 유형 메트릭이 해석적 특이성을 가진다는 것은 그 기저 선다발의 단면 링이 유한 생성될 때이고, 그 때에만 성립한다.
• 모든 다른 불변량이 일치하더라도, 승수 이상의 아이디얼 sheaf $\mathcal{J}(mu) = \mathcal{J}(mv)$ 와 모든 적절한 수정에서 일치하는 Lelong 수는 특이성의 등가성을 보장하지 못한다.
• 다중효율적 선다발의 최소 메트릭 $\varphi_D$ 는 $\varphi_D \preceq \varphi_{\text{Siu},i}$ 를 만족하며, $\varphi_{\text{Siu},i} \sim \varphi_D$ 가 성립하는 것은 단지 단면 링이 유한 생성될 때에만 성립한다.
• 단면 링이 유한 생성되지 않으면 Siu 유형 메트릭은 비해석적 특이성을 지니며, 이러한 행동을 보이는 다중하르모닉 함수의 새로운 예를 제공한다.
• 정리 4.3의 증명은 $u$ 가 해석적 특이성을 가지며, 모든 적절한 수정에서 $u$ 와 $v$ 가 동일한 Lelong 수를 가진다면 $u \preceq v$ 가 성립함을 보여주며, 이는 추론 4.4의 등가 조건을 확립하는 데 핵심적이다.