[논문 리뷰] Equivalence of the Brownian and energy representations

Sergio Albeverio, Bruce K. Driver외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 23.

advanced mathematical theories인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 컴act Lie 군에서의 미끄러지는 경로의 군에 대한 브라운 운동 표현과 에너지 표현 사이의 유니타리 동치를 확립한다. 확률적 분석과 푸리에-위erner 변환을 통해, 위erner 측도를 갖는 위erner 공간과 가우시안 측도를 갖는 경로 공간 위에서 정의된 두 표현이 상호 연결 연산자를 통해 유니타리 동치임을 증명하며, 이러한 표현들에서 상수 함수 1의 순환성에 관한 오랫동안 남아 있던 질문을 해결한다.

ABSTRACT

We consider two unitary representations of the infinite-dimensional groups of smooth paths with values in a compact Lie group. The first representation is induced by quasi-invariance of the Wiener measure, and the second representation is the energy representation. We define these representations and their basic properties, and then we prove that these representations are unitarily equivalent.

연구 동기 및 목표

• 위erner 측도의 준불변성에 의해 유도된 브라운 운동 표현과 경로 공간 위의 에너지 표현 사이의 유니타리 동치를 확립하는 것.
• 브라운 운동 표현과 에너지 표현에서 상수 함수 1이 순환 벡터인지 여부를 해결하는 것.
• 리 군 값 경로 위에서 스트라토노비치 및 이토 적분을 사용하여 에너지 표현의 엄밀한 구성 방법을 제공하는 것.
• 에너지 표현이 역 이토 사상과 푸리에-위erner 변환을 통해 왼쪽 및 오른쪽 브라운 운동 표현과 유니타리 동치임을 보이는 것.
• 무한차원 경로 군의 유니타리 표현을 위한 두 가지 서로 다른 접근법인 확률 과정과 에너지 기반 구성 방법을 통합하는 것.

제안 방법

• 브라운 운동 표현은 컴 pact Lie 군 G의 연속 경로 위에서 정의된 위너 측도 μ를 갖는 $ L^2(W(G), \mu) $ 위에서 구성되며, H(G) — G 내의 부드러운 경로의 군 — 에 속하는 원소들에 의한 좌측 및 우측 곱에 대한 준불변성에 기반한다.
• 에너지 표현은 G의 리 대수 $ \mathfrak{g} $ 와 $ W(\mathfrak{g}) $ 위의 표준 가우시안 측도 ν를 갖는 $ L^2(W(\mathfrak{g}), \nu) $ 위에서 정의되며, 쌍대 작용과 확률적 적분을 사용한다.
• 핵심 기술 도구는 브라운 운동 표현을 $ W(\mathfrak{g}) $ 위의 형태로 변환함으로써 에너지 표현과의 비교를 가능하게 하는 역 이토 사상 $ B^L $ 이다.
• 푸리에-위erner 변환 $ \mathcal{F} $ 는 변환된 브라운 운동 표현과 에너지 표현을 연결하는 상호 연결 연산자로 사용된다.
• 증명은 결정적 피적분자에 대해 이토 적분과 스트라토노비치 적분이 일치한다는 사실에 기반하며, 이는 확률적 미적분 프레임워크 내에서 일관성을 보장한다.
• 유니타리 동치는 오른쪽 곱에 의해 유도된 표현 $ u^{R}_{\varphi} $ 가 역 이토 사상의 쌓음 $ \mathcal{F} \circ (B^L)^* $ 를 통해 에너지 표현 $ E_{\varphi} $ 와 유니타리 동치임을 보여줌으로써 확립된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상수 함수 1은 $ L^2(W(G), \mu) $ 위의 브라운 운동 표현에서 순환 벡터인가?
• RQ2 위erner 측도의 준불변성에 의해 유도된 브라운 운동 표현과 $ L^2(W(\mathfrak{g}), \nu) $ 위의 에너지 표현 사이에 유니타리 동치가 존재하는가?
• RQ3 에너지 표현은 확률적 미적분 도구를 통해 브라운 운동 표현의 유니타리 변환으로서 실현될 수 있는가?
• RQ4 브라운 운동 표현과 에너지 표현 사이의 정확한 상호 연결 연산자는 무엇인가?
• RQ5 역 이토 사상 $ B^L $ 은 브라운 운동 표현 공간과 에너지 표현 공간 사이의 표준 동형사상인가?

주요 결과

• 상수 함수 1은 $ L^2(W(G), \mu) $ 위의 왼쪽 및 오른쪽 브라운 운동 표현 모두에서 순환 벡터이며, 제3장에서 증명되었다.
• 브라운 운동 표현 $ U^R $ 과 에너지 표현 $ E $ 는 정리 5.8에 의해 $ \mathcal{F} \circ (B^L)^* $ 의 쌓음으로써 유니타리 동치임을 증명하였다.
• 에너지 표현 $ E_{\varphi} $ 는 $ (E_{\varphi}f)(w) = e^{i\int_0^T \langle \varphi^{-1}\varphi'(s), dw_s \rangle} f(O_{\varphi^{-1}}w) $ 로 주어지며, 여기서 $ O_{\varphi^{-1}}w = \int_0^\cdot \operatorname{Ad}_{\varphi} dw_s $ 이고, 이는 $ L^2(W(\mathfrak{g}), \nu) $ 위에서 유니타리 표현을 정의한다.
• 역 이토 사상을 통해 얻어진 $ L^2(W(\mathfrak{g}), \nu) $ 위의 표현 $ u^{R}_{\varphi} $ 는 에너지 표현 $ E_{\varphi} $ 와 유니타리 동치이며, 이에 대한 상호 연결 연산자는 푸리에-위erner 변환 $ \mathcal{F} $ 이다.
• 증명은 결정적 피적분자에 대해 이토 적분과 스트라토노비치 적분이 일치한다는 사실에 기반하며, 이는 사용된 확률적 미적분 프레임워크 내에서 일관성을 보장한다.
• 코로나리 5.9는 브라운 운동 표현에서의 순환성과 유니타리 동치의 성립에 기반하여, 상수 함수 1이 에너지 표현에서 순환 벡터임을 확인한다.