[논문 리뷰] Equivalence of the logarithmically averaged Chowla and Sarnak conjectures

Terence Tao|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 16.

Analytic Number Theory Research인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 로그 평균 카우라 추측과 로그 평균 사르나크 추측 간의 논리적 동치성을 확립하며, 이 둘 모두 리우빌 함수의 국소 거스워 정규성과 동치임을 보여준다. 엔트로피 감소 추론과 거스워 노름에 대한 역 추측을 이용하여, 이전에는 별개로 여겨졌던 이 추측들이 실제로 깊이 연결되어 있음을 증명함으로써, 수론 및 동역학계에서의 곱셈 함수에 대한 이해를 한층 강화한다.

ABSTRACT

Let $λ$ denote the Liouville function. The Chowla conjecture asserts that $$ \sum_{n \leq X} λ(a_1 n + b_1) λ(a_2 n+b_2) \dots λ(a_k n + b_k) = o_{X o \infty}(X) $$ for any fixed natural numbers $a_1,a_2,\dots,a_k$ and non-negative integer $b_1,b_2,\dots,b_k$ with $a_ib_j-a_jb_i eq 0$ for all $1 \leq i < j \leq k$, and any $X \geq 1$. This conjecture is open for $k \geq 2$. As is well known, this conjecture implies the conjecture of Sarnak that $$ \sum_{n \leq X} λ(n) f(n) = o_{X o \infty}(X)$$ whenever $f : {\bf N} o {\bf C}$ is a fixed deterministic sequence and $X \geq 1$. In this paper, we consider the weaker logarithmically averaged versions of these conjectures, namely that $$ \sum_{X/ω\leq n \leq X} \frac{λ(a_1 n + b_1) λ(a_2 n+b_2) \dots λ(a_k n + b_k)}{n} = o_{ω o \infty}(\log ω) $$ and $$ \sum_{X/ω\leq n \leq X} \frac{λ(n) f(n)}{n} = o_{ω o \infty}(\log ω)$$ under the same hypotheses on $a_1,\dots,a_k,b_1,\dots,b_k$ and $f$, and for any $2 \leq ω\leq X$. Our main result is that these latter two conjectures are logically equivalent to each other, as well as to the "local Gowers uniformity" of the Liouville function. The main tools used here are the entropy decrement argument of the author used recently to establish the $k=2$ case of the logarithmically averaged Chowla conjecture, as well as the inverse conjecture for the Gowers norms, obtained by Green, Ziegler, and the author.

연구 동기 및 목표

• 로그 평균 카우라 추측과 로그 평균 사르나크 추측 간의 논리적 동치성을 확립하기 위해.
• 이 둘의 추측이 리우빌 함수의 국소 거스워 정규성과 동치임을 보여주기 위해.
• 수론적 및 동역학계적 맥락에서 곱셈 함수와 그의 의사난수성에 대한 이해를 강화하기 위해.
• 에르고딕 이론과 가군 조합론의 도구를 사용하여 리우빌 함수 분석을 위한 통합적 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 리우빌 함수의 상관관계를 제어하기 위해 엔트로피 감소 추론을 활용한다.
• 비균일한 상관관계 구조를 가진 함수를 특성화하기 위해 거스워 노름에 대한 역 추측을 적용한다.
• 사르나크 추측에서의 결정론적 수열을 모델링하기 위해 닐시퀀스 표현을 사용한다.
• 유계 복잡도를 가진 결정론적 수열을 근사하기 위해 비어드 군에서의 다항식 수열을 사용한다.
• 니르포텐트 군 원소의 변형을 제어하기 위해 베커–캠프벨–하우스도르프 공식을 적용한다.
• 유한한 크기의 $ε$-넷을 구성하여 닐시퀀스의 집합에 대해 균일한 0 엔트로피를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 로그 평균 카우라 추측과 로그 평균 사르나크 추측은 논리적으로 동치인가?
• RQ2 엔트로피 감소 추론은 고차 상관을 포함하는 추측 간의 동치성을 증명하기 위해 확장될 수 있는가?
• RQ3 리우빌 함수의 국소 거스워 정규성은 두 추측과 동치인가?
• RQ4 사르나크 추측에서의 결정론적 수열은 복잡도가 유계인 닐시퀀스로 균일하게 근사될 수 있는가?
• RQ5 니르포텐트 군의 구조는 곱셈 함수의 의사난수성을 특성화하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 주어진 조건 하에 $a_i, b_i$ 및 $f$ 에 대해, 로그 평균 카우라 추측과 로그 평균 사르나크 추측은 논리적으로 동치이다.
• 이 동치성은 모든 $k \geq 1$ 및 모든 $2 \leq \omega \leq X$ 에 대해 성립하며, 오차 항은 $o_{\omega \to \infty}(\log \omega)$ 이다.
• 이 추측들은 리우빌 함수의 국소 거스워 정규성과 동치이며, 이는 함수가 고차 상관합에서 상쇄 작용을 보임을 의미한다.
• 엔트로피 감소 추론은 로그 평균 카우라 추측의 $k=2$ 경우를 증명하는 데 핵심 도구가 되며, 이는 주요 동치성의 기초가 된다.
• 거스워 노름에 대한 역 추측은 비균일한 상관관계를 가진 함수의 구조적 분해를 가능하게 하여, 이를 닐시퀀스와 연결한다.
• 유계 복잡도를 가진 닐시퀀스의 집합은 균일한 0 엔트로피를 가지며, 이는 $N$ 에 대해 메트릭 엔트로피가 지수보다 느리게 증가함을 의미한다.