[논문 리뷰] Equivalence of two different notions of tangent bundle on rectifiable metric measure spaces

Nicola Gigli, Enrico Pasqualetto|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 29.

Advanced Topology and Set Theory인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유계 미분형 거리측도공간에서 두 가지 탄젠트 번들의 등장하는 개념 간의 등장성(등장성)을 확립한다: 소볼레프 미분법에서 유도된 추상 탄젠트 모듈러스와 그로모프-하우스도르프 탄젠트 번들의 $L^2$-섹션 공간 간의 등장성. 저자들은 강한 $\mathfrak{m}$-유계 미분형 공간—예를 들어 ${\sf RCD}^*(K,N)$ 공간—에서, 점별-그로모프-하우스도르프 근접이 $\mathfrak{m}$-거의곳곳에서 유클리드 탄젠트 공간이 되며, 이로 인해 유도되는 가측 섹션들은 탄젠트 모듈러스와 등장성 있는 공간을 이룬다. 이는 기하학적 접근과 해석학적 접근 간의 미분 가능성 이론을 통합한다.

ABSTRACT

We prove that for a suitable class of metric measure spaces, the abstract notion of tangent module as defined by the first author can be isometrically identified with the space of $L^2$-sections of the `Gromov-Hausdorff tangent bundle'. The class of spaces $({ m X},{\sf d},{\mathfrak m})$ we consider are PI spaces that for every $\varepsilon>0$ admit a countable collection of Borel sets $(U_i)$ covering ${\mathfrak m}$-a.e.\ ${ m X}$ and corresponding $(1+\varepsilon)$-biLipschitz maps $φ_i:U_i o{\mathbb R}^{k_i}$ such that $(φ_i)_*{\mathfrak m}\lower3pt\hbox{$|_{U_i}$}\ll\mathcal L^{k_i}$. This class is known to contain ${\sf RCD}^*(K,N)$ spaces. Part of the work we carry out is that to give a meaning to notion of $L^2$-sections of the Gromov-Hausdorff tangent bundle, in particular explaining what it means to have a measurable map assigning to ${\mathfrak m}$-a.e.\ $x\in { m X}$ an element of the pointed-Gromov-Hausdorff limit of the blow-up of ${ m X}$ at $x$.

연구 동기 및 목표

• 두 개별적인 탄젠트 번들 개념 간의 엄밀한 연결 고리를 확립하기: 소볼레프 미분법에서 유도된 추상 탄젠트 모듈러스와 기하학적 그로모프-하우스도르프 탄젠트 번들.
• 강한 $\mathfrak{m}$-유계 미분형 공간에서 차트를 이용해 그로모프-하우스도르프 탄젠트 번들의 캐논리컬 가측 구조를 정의하기.
• $\mathfrak{m}$-거의곳곳의 $x \in \rm{X}$에서, 점별-그로모프-하우스도르프로 스케일링된 공간의 극한이 유클리드 공간이 되며, 이는 탄젠트 번들의 기하학적 해석을 가능하게 한다.
• 그로모프-하우스도르프 탄젠트 번들의 $L^2$-섹션 공간이 탄젠트 모듈러스 $L^2(T\rm{X})$와 등장성 등장성 등형을 갖는다는 것을 증명하기.
• 임의의 등장성 등형에 의한 탄젠트 공간 식별의 모호성을 제거하기 위해, 이중리프시츠 차트를 이용해 캐논리컬 가측 구조를 구성하기.

제안 방법

• $(1+\varepsilon)$-이중리프시츠 차트 $\varphi_i: U_i \to \mathbb{R}^{k_i}$의 가чёт한 가족을 사용해 그로모프-하우스도르프 탄젠트 번들의 가측 바나흐 번들 개념을 도입하기.
• 그로모프-하우스도르프 탄젠트 번들의 $L^2$-섹션을 정의: $\mathfrak{m}$-거의곳곳의 $x \in \rm{X}$에 대해, $x$에서 스케일링된 공간의 점별-그로모프-하우스도르프 극한에 속하는 원소를 할당하는 가측 함수로 정의하기.
• $\varepsilon_n$-아틀라스가 컴팩트 도메인과 조밀한 점을 갖는다는 사실을 이용해, $r_n \downarrow 0$ 인 수열을 구성하여, 스케일링된 차트 $\Phi_n(x, \cdot)$ 가 그로모프-하우스도르프 의미에서 항등원에 수렴하도록 하기.
• 레마 1.2를 적용하여, 점들과 그 투영 사이의 거리를 제어하고, 이로 인해 작은 구 내에서 $\Phi_n$ 이 등장성 등형으로 균일 수렴하도록 보장하기.
• $\mathfrak{m}$-거의곳곳의 $x$에 대해, 스케일링된 공간 $B_{r_n R}(x)/r_n$ 이 점별-그로모프-하우스도르프 의미에서 표준 유클리드 거리로 $\mathbb{R}^k$ 로 수렴함을 증명하기.
• $L^2(T\rm{X})$와 $L^2(T_{\rm{GH}}\rm{X})$ 사이의 등장성 등형을 증명하기 위해, 소볼레프 함수의 미분이 정확히 그로모프-하우스도르프 탄젠트 번들의 가측 섹션과 대응됨을 보여주기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소볼레프 미분법과 $L^\infty$-모듈러스를 통해 정의된 추상 탄젠트 모듈러스는 그로모프-하우스도르프 탄젠트 번들의 섹션으로 기하학적으로 실현될 수 있는가?
• RQ2 $\mathfrak{m}$-거의곳곳의 점 $x$에서 스케일링된 공간의 점별-그로모프-하우스도르프 극한이 유클리드 공간이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 임의의 등장성 등형에 의한 탄젠트 공간 식별의 모호성을 피하기 위해, 그로모프-하우스도르프 극한을 통해 얻은 탄젠트 공간의 번들의 캐논리컬 가측 구조를 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ4 그로모프-하우스도르프 탄젠트 번들의 $L^2$-섹션 공간과 탄젠트 모듈러스 $L^2(T\rm{X})$ 사이에 자연스러운 등장성 등형 식별이 존재하는가?
• RQ5 특이적이지만 유계 미분형인 거리측도공간에서, 약한 도함수(해석학적)를 통한 미분 가능성과 블로우업(기하학적)을 통한 미분 가능성의 개념이 어느 정도 일치하는가?

주요 결과

• $\mathfrak{m}$-거의곳곳의 $x \in \rm{X}$에서, $r_n \downarrow 0$ 일 때 스케일링된 공간 $B_{r_n R}(x)/r_n$ 의 점별-그로모프-하우스도르프 극한은 어떤 $k$ 에 대해 $\mathbb{R}^k$ 와 등장성 등형이며, 이 극한은 $x$에서의 국소 차원에만 의존한다.
• 그로모프-하우스도르프 탄젠트 번들의 $L^2$-섹션 공간, 즉 $L^2(T_{\rm{GH}}\rm{X})$ 는 잘 정의되어 있으며, 이중리프시츠 차트를 통해 캐논리컬 가측 구조를 갖는다.
• $r_n \downarrow 0$ 인 수열이 존재하여, 스케일링된 차트 $\Phi_n(x, \cdot)$ 가 $B_{r_n R}(x)$ 에서 일관되게 $\big{|}\big{|}\Phi_n(x,y_0) - \Phi_n(x,y_1)\big{|}_{\mathbb{R}^k} - \frac{{\sf d}(y_0,y_1)}{r_n}\big{|} \leq \varepsilon$ 를 만족한다.
• 스케일링된 차트 $\Phi_n(x, \cdot)$ 의 이미지는 공 $B_{R-\varepsilon}(0_{\mathbb{R}^k})$ 에 $\varepsilon$-밀도를 갖는다. 이는 극한이 전체 탄젠트 공간을 포괄함을 보장한다.
• $L^2(T\rm{X})$ 탄젠트 모듈러스와 $L^2$-섹션 공간 $L^2(T_{\rm{GH}}\rm{X})$ 는 등장성 등형 등형을 갖는다. 이 등형은 소볼레프 함수의 미분에 의해 주어진다.
• 결과는 강한 유계 미분형 조건 하에서, 해석학적·기하학적 미분 가능성 개념이 $\mathfrak{m}$-거의곳곳에서 일치함을 보여, 라데마허 정리의 일반화이다.