[논문 리뷰] Equivalence Relations Which Are Borel Somewhere

William Chan|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 25.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 폴란드 공간 위의 해석적 또는 공해석적 동치관계가 어떤 조건에서 $Δ_1^1$ 집합으로 제한되었을 때 그 제한이 $Δ_1^1$ 동치관계가 되는지를 조사한다. $̼$-이deo에 대한 강력한 포스팅과 절대성의 맥락에서, 모든 크기가 $(2^{ egthinspaceackepsilon_0})^+$ 인 $z$에 대해 $z^\sharp$가 존재한다고 가정할 경우, 그러한 $Δ_1^1$ 집합 $C$가 존재함을 보여준다. 주요 기여는 대규모 카디널 가정 하에 $Σ_1^1$ 및 $Π_1^1$ 동치관계이면서 모든 동치류가 $Δ_1^1$인 경우에 대해 보다 정교화된 형태의 주요 질문에 대해 긍정적인 답변을 제시하는 것이다.

ABSTRACT

The following will be shown: Let $I$ be a $σ$-ideal on a Polish space $X$ with the property that the associated forcing of $I^+$ Borel subsets ordered by $\subseteq$ is a proper forcing. Let E be an analytic or coanalytic equivalence relation on this Polish space with all equivalence classes Borel. If sharps of certain sets exist, then there is an $I^+$ Borel subset $C$ of $X$ such that $E \upharpoonright C$ is a Borel equivalence relation.

연구 동기 및 목표

• 폴란드 공간 위의 해석적 또는 공해석적 동치관계가 어떤 조건에서 $Δ_1^1$ 집합으로 제한되었을 때 그 제한이 $Δ_1^1$ 동치관계가 되는지를 결정하는 것.
• 모든 동치류가 $Δ_1^1$임을 요구하여, 가산 집합에서 비롯되는 자명한 경우를 피함으로써 주요 질문의 강건성을 다루는 것.
• 모든 관련 포스팅이 적절한 $σ$-이deo에 대해 $Π_I$로 표현되는 포스팅 이론적 프레임워크를 사용하여 절대성과 일반성의 추론을 도출하는 것.
• 모든 $z$에 대해 $z^\sharp$가 존재한다고 가정할 경우, $E\upharpoonright C$가 $Δ_1^1$이 되는 $Δ_1^1$ 집합 $C$의 존재를 확립하는 것.
• 구성 가능 실수와 포스팅 확장의 맥락에서, 특히 $L$ 내에서 비가산 얇은 집합인 동치류를 가진 $Π_1^1$ 동치관계의 존재를 탐색하는 것.

제안 방법

• 폴란드 공간 $X$의 $I^+$ $Δ_1^1$ 부분집합들로 구성된 포스팅 $Π_I$를 사용하며, 여기서 $I$는 $σ$-이deo이다.
• Zapletal의 특성화를 적용하여, $Π_I$가 강력한 포스팅임은 모든 가산 $M \prec H_\Theta$에 대해 $\u03a0_I, B \in M$이면 $M$에 대한 $Π_I$-일반 원소들의 집합이 $I^+$ 이고 $Δ_1^1$임을 보여주는 조건과 동치임을 보인다.
• 절대성과 일반성의 원리를 활용하여, $E$의 성질을 기저 모델에서 일반 확장으로 옮기며, $E\upharpoonright C$가 $Δ_1^1$으로 유지됨을 보장한다.
• Lusin-Novikov 균일화 정리를 사용하여, $Δ_1^1$ 집합으로 생성된 자유 아벨 군의 원소들을 표현하는 $Δ_1^1$ 함수를 구성한다.
• 구성 가능성에 기반하여, 실수의 $Δ_1^1$ 얇은 부분군을 이용해 $\mathbb{R}$ 위에 $Π_1^1$ 쌍대군 동치관계를 구성한다.
• Mansfield-Solovay 정리를 적용하여, $L$ 내에서 비가산 얇은 집합이 포스팅 확장에서도 그대로 유지됨을 보장함으로써, 그들의 비가산 얇은 성질이 $L$ 내에서 유지됨을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $\u03a3_1^1$ 동치관계 $E$의 모든 동치류가 $\u0394_1^1$ 이며, $X$ 위의 $σ$-이deo $I$에 대해 포스팅 $\u03a0_I$가 강력한 경우, $I^+$ $\u0394_1^1$ 집합 $C$가 존재하여 $E\upharpoonright C$가 $\u0394_1^1$이 되는가?
• RQ2 모든 $\u03a0_1^1$ 동치관계 $E$의 모든 동치류가 $\u0394_1^1$ 이며, $\u03c3$-이deo $I$에 대해 $\u03a0_I$가 강력한 경우, $I^+$ $\u0394_1^1$ 집합 $C$가 존재하여 $E\upharpoonright C$가 $\u0394_1^1$이 되는가?
• RQ3 $L$ 내에서 모든 동치류 $[x]_E$가 비가산 얇은 집합인 $\u03a0_1^1$ 동치관계 $E$가 존재하는가?
• RQ4 $\omega_1^L < \omega_1^V$인 모델에서, 비가산 얇은 $\u0394_1^1$ 집합을 명시적으로 참조하지 않고도 $\u03a0_1^1$ 동치관계를 구성할 수 있는가? 이는 $C$의 존재에 대한 긍정적 답변를 보여주는가?
• RQ5 ${}^\omega\omega$를 $\u03a0_1^1$ 조각들로 나누어 각 조각이 비가산 얇은 집합이 되도록 하는 $\u03a0_1^1$ 동치관계가 $L$ 내에서 존재하는가?

주요 결과

• 모든 $z \in H_{(2^{\aleph_0})^+}$에 대해 $z^\sharp$가 존재한다고 가정할 경우, 폴란드 공간 $X$ 위의 $\u03a3_1^1$ 또는 $\u03a0_1^1$ 동치관계 $E$에 대해, 모든 동치류가 $\u0394_1^1$ 이면, $X$의 부분집합인 $\u0394_1^1$ 집합 $C$가 존재하여 $E\upharpoonright C$가 $\u0394_1^1$이 된다.
• 관련 포스팅 $\u03a0_I$가 강력한 경우, 일반성과 절대성을 사용하여 $E\upharpoonright C$의 $\u0394_1^1$ 성질이 유지됨을 보장함으로써, 그러한 $C$의 존재가 보장된다.
• $\mathbb{R}$ 위에 $\u03a0_1^1$ 동치관계 $E$를 구성하여, 각 동치류 $[x]_E$가 $L$ 내에서 $\u0394_1^1$ 비가산 얇은 집합과 일대일 대응되도록 하였다. 특히, $\u0394_1^1$ 얇은 실수 집합으로 생성된 부분군을 이용하였다.
• 구성된 동치관계 $E$는 $\u03a0_1^1$ 이며, $L \models \text{모든 } x \text{에 대해 } [x]_E \text{는 비가산 얇다}$를 만족하여, 질문 10.8에 대해 긍정적인 답변를 제공한다.
• 정리 11.1의 동치관계 $E$는 질문 10.7의 요구사항을 충족하지 못한다. 이는 구성 가능하게 코딩된 얇은 집합에 의존하기 때문이며, $\omega_1^L < \omega_1^V$인 모델에서는 비가산 얇은 성질이 유지되지 않는다.
• 질문 10.7의 해법은 반드시 명시적인 비가산 얇은 $\u0394_1^1$ 집합의 사용을 피해야 하며, 그렇지 않으면 포스팅 확장에서 원하는 성질이 유지되지 않음을 보였다.