[논문 리뷰] Equivalent moduli of continuity, Bloch's theorem for pluriharmonic mappings in $\mathbb{B}^{n}$

S-H Chen, Saminathan Ponnusamy외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 12. 03.

Analytic and geometric function theory참고 문헌 19인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 단위 구 $\mathbb{B}^n$ 내의 다항조화 사상에 대해 샤르츠-피크 유형 정리를 수립하고, 등가 연속성 모듈러스를 도출하며, 이러한 사상에 대해 랑드의 정리와 블로흐의 정리를 증명한다. 또한 리프시츠 유형 공간에서 새로운 노름 등가성을 도입하고, 야코비안 행렬식의 최대 왜곡을 통해 블로흐 상수에 대한 날카로운 경계를 제공한다.

ABSTRACT

In this paper, we first establish a Schwarz-Pick type theorem for pluriharmonic mappings and then we apply it to discuss the equivalent norms on Lipschitz-type spaces. Finally, we obtain several Landau's and Bloch's type theorems for pluriharmonic mappings.

연구 동기 및 목표

• 단위 구 $\mathbb{B}^n$ 내의 다항조화 사상에 대해 샤르츠-피크 유형 부등식을 수립하기.
• 연속성 모듈러스를 통한 리프시츠 유형 공간 내 등가 노름을 특성화하기.
• 단위 구 $\mathbb{B}^n$ 내의 다항조화 사상에 대해 랑드의 정리 및 블로흐 유형 정리를 도출하기.
• 야코비안 행렬식과 왜곡 경계를 사용하여 블로흐 상수에 대한 날카로운 추정을 도출하기.

제안 방법

• K-등비정규 조화 사상 프레임워크를 사용하여 다항조화 사상에 대한 일반화된 샤르츠-피크 부등식을 유도한다.
• 이 부등식을 사용하여 정규 주요 함수 $\omega$를 통한 리프시츠 유형 공간 내 등가 노름을 특성화한다.
• 직선적 곡선 위의 적분 조건을 통한 $\Lambda_\omega$-확장 도메인의 기하적 특성화를 적용한다.
• 볼록 사상에 대한 피츠제럴드-톰슨 보조정리를 적용하여 $\mathbb{B}^n$ 내 고차 도함수의 경계를 구한다.
• 블로흐 반경을 적분 주요화를 통해 추정하기 위해 정규화된 사상 $F(\zeta) = \frac{1}{t}[f(p(\zeta)) - f(z_0)]$를 구성한다.
• 최대 원리와 행렬식 경계를 사용하여 $ (1-|z_0|)^n |\det f_z(z_0)| = 1 $을 만족하는 극값 점 $z_0$를 국소화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단위 구 $\mathbb{B}^n$ 내의 다항조화 사상에 대해 날카로운 샤르츠-피크 유형 부등식은 무엇인가?
• RQ2 다항조화 사상에 대해 리프시츠 유형 공간 내 등가 연속성 모듈러스는 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ3 단위 구 $\mathbb{B}^n$ 내의 다항조화 사상에 대해 최적의 블로흐 상수는 무엇인가?
• RQ4 단위 구 $\mathbb{B}^n$ 내의 다항조화 사상의 상에 포함된 가장 큰 슈라이흐 구는 무엇인가?
• RQ5 야코비안 행렬식의 왜곡 추정은 단일성과 블로흐 유형 정리에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 날카로운 샤르츠-피크 유형 부등식이 수립된다: $ |\nabla\overline{f}(z)\cdot\theta| + |\nabla f(z)\cdot\overline{\theta}| \leq K \frac{1 - |f(z)|^2}{1 - |z|^2} $, 여기서 $ K = \frac{1+k}{1-k} $이며 $ f \in \mathcal{H}_k(\mathbb{B}^n) $이다.
• 블로흐 상수 $ B_f $ 는 $ B_f \geq \max_{0<t<1} \left\{ \frac{\alpha \pi^{4n} t}{8m(4M(t))^{4n-1}} \right\} $ 를 만족하며, 여기서 $ M(t) = \frac{M^*}{t} \log\left(\frac{1}{1-t}\right) $ 이다.
• $ f \in \mathcal{H}_k(\mathbb{B}^n) $ 이고 $ |f(z)| < 1 $ 이면, 야코비안 행렬식은 $ (1 - |z_0|)^n |\det f_z(z_0)| = 1 $ 을 만족하는 점 $ z_0 $ 에서 최댓값을 갖는다.
• 만일 $ (m_2 + m_3)\rho_1 < 1 $ 이면, $ f $ 는 $ \mathbb{B}^n(0, \rho_1) $ 에서 단일성 보장되며, 이때 $ \rho_1 \leq r_3 = 1/3 $, $ m_2 \approx 9.444 $, $ m_3 = 6.75 $ 이다.
• 정규 주요 함수 조건 $ \int_0^\delta \frac{\omega(t)}{t} dt \leq C\omega(\delta) $ 와 $ \delta \int_\delta^\infty \frac{\omega(t)}{t^2} dt \leq C\omega(\delta) $ 를 통해 리프시츠 유형 공간 내 노름 등가성이 확립된다.
• 이미지 $ f(\mathbb{B}^n) $ 는 최소한 $ \max_t \left\{ \frac{\alpha \pi^{4n} t}{8m(4M(t))^{4n-1}} \right\} $ 의 반경을 갖는 슈라이흐 구를 포함하며, 여기서 $ M(t) $ 는 정규화된 사상 $ F $ 를 통해 정의된다.