[논문 리뷰] Equivariant Cohomology and Gauged Bosonic sigma-Models

José Figueroa-O’Farrill, Sonia Stanciu|ArXiv.org|1994. 07. 22.

Algebraic structures and combinatorial models인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 d차원 보존적 시그마 모델에서 Wess-Zumino 항의 게이지화에 대한 차단을 목표 공간의 동차 코homology를 사용하여 재구성하며, 이 차단이 동차 코hom로의 부분복합체에 속하는 클래스로 식별됨을 보여준다. 논문은 저차원( d ≤ 4)에서 컴팩트하고 비콤팩트인 단순 리군에 대해 허무한 정리들을 증명하여, 목표 다양체에 대한 위상적 조건이 만족될 경우 차단의 부재를 보장하며, 이 코homological 프레임워크를 통해 기존의 위상적 항들을 일반화한다.

ABSTRACT

We re-examine the problem of gauging the Wess-Zumino term of a d-dimensional bosonic sigma-model. We phrase this problem in terms of the equivariant cohomology of the target space and this allows for the homological analysis of the obstruction. As a check, we recover the obstructions of Hull and Spence and also a generalization of the topological terms found by Hull, Rocek and de Wit. When the symmetry group is compact, we use topological tools to derive vanishing theorems which guarantee the absence of obstructions for low dimension (d<=4) but for a variety of target manifolds. For example, any compact semisimple Lie group can be gauged in a three-dimensional sigma-model with simply connected target space. When the symmetry group is semisimple but not necessarily compact, we argue in favor of the persistence of these vanishing theorems by making use of (conjectural) equivariant minimal models (in the sense of Sullivan). By way of persuasion, we construct by hand a few such equivariant minimal models, which may be of independent interest. We illustrate our results with two examples: d=1 with a symplectic target space, and d=2 with target space a Lie group admitting a bi-invariant metric. An alternative homological interpretation of the obstruction is obtained by a closer study of the Noether method. This method displays the obstruction as a class in BRST cohomology at ghost number 1. We comment on the relationship with consistent anomalies.

연구 동기 및 목표

• d차원 보존적 시그마 모델에서 Wess-Zumino 항의 게이지화에 대한 장애가 놓여 있는 정확한 코homological 구조를 규명하는 것.
• 대부분의 목표 다양체와 대칭군에 대해 장애가 존재하지 않음을 보장하는 사전 허무한 정리들을 유도하는 것.
• Hull, Roècek, de Wit가 발견한 기존의 위상적 항들을 동차 코homology 프레임워크를 통해 일반화하는 것.
• 추측적 동차 최소 모델을 통해 비콤팩트 단순 리군으로 분석을 확장하는 것.
• BRST 방법을 통해 장애를 호모로지적 해석으로 제공하며, 이는 고스트 수준 1에서의 코homology 클래스와 연결된다.

제안 방법

• 게이지 불변성을 군 작용에 대한 동차성로 간주함으로써, 목표 다양체의 동차 코homology로 게이지화 문제를 재구성한다.
• Weil 대수와 Weil 호모로지스를 사용하여 de Rham 모델에서 동차 코homology를 실현하며, 게이지 불변 항을 동차 코사이클로 식별한다.
• 장애가 존재하는 부분복합체를 정의하고, 이가 장기적인 정확한 코homology 군의 수열에서 연결 호모로지스를 통한 상사상임을 보여준다.
• Leray 스펙트럴 시퀀스와 같은 위상적 도구를 적용하여 동차 코homology를 계산하고 컴팩트 군에 대한 허무한 정리를 도출한다.
• 비콤팩트 단순 리군으로의 허무한 정리 확장을 위해 동차 최소 모델의 개념을 도입한다.
• BRST 방법을 재해석하여 장애를 고스트 수준 1에서의 BRST 코homology 클래스로 식별한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 d차원 보존적 시그마 모델에서 Wess-Zumino 항의 게이지화에 대한 장애를 지배하는 코homological 구조는 무엇인가?
• RQ2 특히 d ≤ 4일 때, 목표 다양체와 대칭군에 대해 어떤 위상적 조건이 만족되면 장애가 사라지는가?
• RQ3 Hull, Roècek, de Wit가 발견한 기존의 위상적 항들은 동차 코homology 프레임워크 내에서 어떻게 회복되고 일반화될 수 있는가?
• RQ4 컴팩트 군에 대한 허무한 정리는 동차 최소 모델을 사용하여 비콤팩트 단순 리군으로 확장될 수 있는가?
• RQ5 BRST 형식에서의 장애와 동차 코homology 클래스 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• Wess-Zumino 항의 게이지화 장애는 목표 공간의 동차 코homology의 클래스로 식별되며, 이는 장기적인 정확한 수열에서 연결 호모로지스를 통한 Wess-Zumino 클래스의 상사상임을 보여준다.
• 콤팩트 단순 리군의 경우, 목표 공간이 단순연결되어 있으면 3차원에서 장애가 사라진다.
• 4차원 모델에서는 목표 공간이 최대 하나의 U(1) 인자만 가지며 군이 삼차 카시미르를 갖지 않으면 장애가 사라진다.
• 동차 최소 모델의 존재를 가정할 경우, 비콤팩트 단순 리군에 대해서도 허무한 정리가 유지되며, 이러한 모델의 구체적 구성에 의해 이 가정이 지지된다.
• BRST 방법은 장애를 고스트 수준 1에서의 코homology 클래스로 확인하여 호모로지적 해석을 제공한다.
• 이 프레임워크는 기존의 위상적 항들을 일반화하고 재확인하며, 이들이 동차 코homology에서 기원함을 보여준다.