[논문 리뷰] Equivariant Cohomology and Localization Formula in Supergeometry

Pascal Lavaud|ArXiv.org|2004. 02. 04.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 13인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 특정 기하 조건 하에서 초기하학으로의 베르린-베르그너의 등변 국소화 공식을 일반화한다. 초기하학적 벡터 번들의 등변 코호몰로지 이론에 대해 일반화된 계수를 가진 등변 톰 형식을 구성함으로써, 고정점이 고립되어 있지 않은 초다양체 위에서 적분 가능한 등변 형식에 대한 국소화 공식을 수립한다. 이 공식은 초연결과 순간 지도의 양성 조건에서 유도된 일반화된 오일러 클래스를 기반으로 하며, 고전적 공식을 리 초군 및 비콤팩트 작용으로까지 확장한다.

ABSTRACT

Let G be a compact Lie group. Let M be a smooth G-manifold and V --> M be an oriented G-equivariant vector bundle. One defines the spaces of equivariant forms with generalized coefficients on V and M. An equivariant Thom form $θ$ on V is a compactly supported closed equivariant form such that its integral along the fibres is the constant function 1 on M. Such a Thom form was constructed by Mathai and Quillen. Its restriction to M gives a representative of the equivariant Euler class of V. In the supergeometric situation we give proper definitions of all the objects involved. But, in this case a Thom form doesn't always exist. In this article, when the action of G on V is sufficiently non-trivial, we construct such a Thom form with generalized coefficients. We use it to construct an equivariant Euler form of V and to generalize Berline-Vergne's localization formula to the supergeometric situation.

연구 동기 및 목표

• 리 초군의 작용을 가진 초다양체에 대해 베르린-베르그너 국소화 공식을 일반화한다.
• 표준적인 톰 형식이 존재하지 않을 경우 초벡터 번들의 등변 오일러 클래스의 대표를 구성한다.
• 작용이 충분히 비자명할 경우 일반화된 계수를 가진 등변 톰 형식을 정의한다.
• 고립되어 있지 않은 고정점을 가진 전반적으로 방향이 정해진 초다양체 위에서 적분 가능한 등변 형식에 대한 국소화 공식을 수립한다.
• 키릴로프 유사 특성 공식을 테스트하고 리 초대수에서의 불변 일반화된 함수를 구성하기 위한 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 표준적인 톰 형식이 존재하지 않을 경우, $G$-등변 초벡터 번들 $\mathcal{V} \to M$ 위에 일반화된 계수를 가진 등변 톰 형식을 구성한다.
• 모든 $G(X)$-불변 유클리드 구조 $Q$와 $G(X)$-불변 초연결 $\mathbb{A}_{\mathfrak{g}}$를 사용하며, 정규 번들 $T_N M(X)$ 위에서 순간 지도 $\mu_{\mathbb{A}}$를 정의한다.
• 조건 $(**)$: 어떤 열린 덮개 $\{W\}$에 대해 $M_0$의 열린 덮개에서 $U_+^{T_N M(X)_1}(W)$가 비어 있지 않은 열린 부분집합을 포함하며, 이는 기저에서의 홀수 섹션에 대해 $Q(v, \mu_{\mathbb{A}}(Z)v)_{\mathbb{R}}$의 양성 보장한다.
• 초연결과 순간 지도를 통해 $T_N M(X)$의 등변 오일러 클래스의 대표로 등변 오일러 형식 $\mathcal{E}_{\mathfrak{g}}(Z)$를 정의한다.
• 전체 섬유가 아닌 짝수 부분 $\mathcal{V}^0$에 沿한 적분을 사용하여 수정된 톰 동형을 적용함으로써, $\widehat{\Omega}_{\int}(\mathcal{V})$와 $\widehat{\Omega}_{\int}(M)$의 코호몰로지를 연결한다.
• 등변성과 정규 번들로의 동형을 이용하여 국소화 문제를 $T_N M(X)$ 내의 $M(X)$ 근방으로 이전하고, 비초기화 국소화 추론의 초기화판을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리 초군의 작용 하에서 고립되어 있지 않은 고정점을 가진 초다양체에 대해, 베르린-베르그너 국소화 공식을 일반화할 수 있는가?
• RQ2 초벡터 번들에 대해 일반화된 계수를 가진 등변 톰 형식이 존재하는 기하적 조건는 무엇인가?
• RQ3 표준적인 톰 형식이 존재하지 않을 경우 초벡터 번들의 등변 오일러 클래스는 어떻게 표현할 수 있는가?
• RQ4 홀수 섹션에서 순간 지도 작용의 양성이 국소화 공식의 구성에 미치는 역할은 무엇인가?
• RQ5 이 프레임워크를 사용하여 리 초대수에서의 불변 일반화된 함수를 정의하고 키릴로프 유사 특성 공식을 테스트할 수 있는가?

주요 결과

• 표준적인 톰 형식이 존재하지 않을 경우, $G$-등변 초벡터 번들에 대해 일반화된 등변 톰 형식과 일반화된 계수를 구성한다.
• 핵심 조건 $(**)$는 홀수 섹션에서 $Q(v, \mu_{\mathbb{A}}(Z)v)_{\mathbb{R}} > 0$인 $Z \in \mathfrak{g}_0(X)$의 집합이 비어 있지 않고 열린 집합임을 보장하여 오일러 형식의 구성 가능성을 보장한다.
• 국소화 공식은 $\mathfrak{g}_0(X)$ 내의 $X$ 근방 $O$에서 성립하며, 적분 가능한 닫힌 등변 형식 $\alpha$에 대해 $\int_M \alpha(Z) = (2\pi)^{\frac{n+m}{2}} \int_{M(X)} \frac{j^*\alpha(Z)}{\mathcal{E}_{\mathfrak{g}}(Z)}$의 등식이 성립한다.
• 형식 $\alpha$의 지지집합이 컴팩트하고 비영인 항의 수가 유한하므로, 공식은 $M(X)$의 연결 성분들 위의 유한한 합으로 줄어든다.
• 이 구성은 비콤팩트 작용과 반드시 리 군으로 줄어들지 않는 리 초군에 대해 적용 가능하며, 슈바르츠와 자보론키의 이전 결과를 확장한다.
• 이 방법은 $\mathfrak{g}$가 노름화된 경우, 초군의 코어지오이드 궤도와 단위 표현을 연계하는 데 프레임워크를 제공한다. 이는 두플로의 지적과 일치한다.