[논문 리뷰] Equivariant geometry and the cohomology of the moduli space of curves

Dan Edidin|arXiv (Cornell University)|2010. 06. 11.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 25인용 수 20

한 줄 요약

이 논문은 대수적 스택의 정수 코homology 링을 정의하기 위한 범주론적 프레임워크를 제안하며, 이는 몫 스택에 대한 동치 코homology와 일치한다. 또한, 스무스 몰입 스택인 안정 곡선의 모듈리 공간 $\overline{\mathcal{M}}_g$와 같은 경우의 유리수 코homology가 그의 일반 모듈리 공간과 동형임을 증명하여, 특이 모듈리 스킴에서의 교차 이론을 유리수 차우 링을 통해 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this expository article we give a categorical definition of the integral cohomology ring of a stack. We show that for quotient stacks the categorical cohomology may be identified with equivariant cohomology. Via this identification we show that for Deligne-Mumford quotient stacks this cohomology is rationally isomorphic to the rational cohomology of the coarse moduli space. The theory is presented with a focus on the stacks of smooth and stable curves.

연구 동기 및 목표

• 모듈리 스택이 일반적인 공간이 아니므로, 곡선의 모듈리 스택에 대해 코homology를 정의하는 데 있어 기본적인 문제를 해결하기 위해.
• 정수 계수를 사용할 수 있는 함수적이고 대수적인 방식으로 스택에 대한 코homology 및 차우 링을 정의하기 위해.
• 특히 $\mathcal{M}_g$ 및 $\overline{\mathcal{M}}_g$에 대해, 덜네-무엄 스택과 그 일반 모듈리 공간 간의 유리수 동형을 확립하기 위해.
• 모듈리 곡선의 타우토로지컬 클래스들이 자연스럽게 기능적 코homology 링 안에 존재하며, 일반 모듈리 공간의 유리수 차우 링이 잘 정의된 교차 곱을 상속함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 군의 층으로 이루어진 범주(CFG)의 코homology를 동치 코homology를 일반화한 범주론적, 함수적 접근을 통해 정의하기.
• 몰입 스택 $[X/G]$의 코hom로 링을 동치 코homology $H^*_G(X)$와 동일시함으로써, 정수 계수를 사용하는 대수적 기법을 가능하게 하기.
• 특히 모듈리 스택 $\mathcal{M}_g$ 및 $\overline{\mathcal{M}}_g$에 대해, 동치 차우 이론을 사용하여 스택의 정수 차우 링을 정의하기.
• 스무스 몰입 스택의 경우, 사이클에 대한 차수를 유지하는 사상에 의해, 유리수 코homology 군이 일반 모듈리 공간의 것과 동형임을 증명하기.
• 특정한 가중치와 안정화자를 분석함으로써, $\mathbb{C}^*$-작용이 있는 $X = \mathbb{A}^2 \setminus \{0\}$에서의 동치 방법을 적용하여 교차 수를 계산하기, 예를 들어 $∫_{\overline{\mathcal{M}}_{1,1}} \lambda_1 = 1/24$.
• 0차 사이클의 차수는 일반 모듈리 공간의 유리수 차우 군에 대한 그의 상을 통해 정의되며, 이는 비정수일 수 있음을 보여주기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스택이 스킴가 아니므로, 특히 스킴가 아닌 경우에 대해 일관되고 정수 계수를 갖는 코homology 이론을 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ2 델레인-무엄 스택 $\mathcal{X}$의 유리수 코homology가 그 일반 모듈리 공간 $M$의 것과 어느 정도 일치하는가?
• RQ3 모듈리 곡선의 타우토로지컬 클래스들이 자연스럽게 기능적 코homology 링에 포함될 수 있는가?
• RQ4 군 작용이 있는 스킴의 동치 차우 링과 관련된 몰입 스택의 차우 링 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ5 특이 일반 모듈리 공간 $\overline{M}_g$에서의 교차 수를 스택 이론적 방법을 사용하여 어떻게 계산할 수 있는가?

주요 결과

• 스무스 몰입 스택 $[X/G]$의 유리수 코homology 링은 그 일반 모듈리 공간의 유리수 코homology 링과 동형이다.
• 일반 모듈리 공간 $\overline{M}_g$의 유리수 차우 링은 스택 코homology를 통해 잘 정의된 교차 곱을 상속한다.
• 델레인-무엄 스택에서의 0차 사이클의 차수는 일반 모듈리 공간의 유리수 차우 군에 대한 그의 상을 통해 정의되며, 비정수일 수 있다 (예: $1/24$).
• $\overline{\mathcal{M}}_{1,1}$의 정수 차우 링은 $\mathbb{Z}[t]/24t^2$이고, 그 일반 모듈리 공간인 $\mathbb{P}^1$의 것은 $\mathbb{Z}[h]/h^2$이므로, 이 둘은 $\mathbb{Z}$ 위에서 동형이 아니다.
• 교차 수 $\int_{\overline{\mathcal{M}}_{1,1}} \lambda_1 = 1/24$는 $\mathbb{A}^2 \setminus \{0\}$에서의 $\mathbb{C}^*$-작용과 가중치 (4,6)을 사용한 동치 방법을 통해 계산된다.
• $\overline{\mathcal{M}}_{1,1}$의 유리수 차우 링에서 항등원은 일반 타원 곡선에서의 $\mu_2$-작용으로 인해 $\frac{1}{2}[\mathbb{P}^1]$에 대응한다.