[논문 리뷰] Equivariant homotopy of definable groups

Alessandro Berarducci, Marcello Mamino|arXiv (Cornell University)|2009. 05. 07.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 9인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 o-미니멀한 실폐쇄체의 확장 위에서 정의된 두 개의 정의적으로 컴팩트하고 정의적으로 연결된 군이 그에 대응하는 리 군이 동형이면 정의적으로 호모토피 동치임을 증명한다. 컴팩트 지배 정리(Compact domination theorem)를 이용해, 군의 기본군과 리 군의 기본군 사이의 G-등변 호모모르피즘을 구성하고, 기본군에 자연스러운 동형사상을 유도하며, 유한 부분군이 이러한 동치에 의해 유지됨을 증명한다. 이는 단순형의 경우 정의적 동형사상의 존재를 이끌어낸다.

ABSTRACT

Abstract. We consider groups definable in an o-minimal expansion of a real closed field. To each definable group G is associated in a canonical way a real Lie group G/G 00 which, in the definably compact case, captures many of the algebraic and topological features of G. In particular, if G is definably compact and definably connected, the definable fundamental group of G is isomorphic to the fundamental group of G/G 00. However the functorial properties of the isomorphism have so far not been investigated. Moreover from the known proofs it is not easy to understand what is the image under the isomorphism of a given generator. Here we clarify the situation using the “compact domination conjecture ” proved by Hrushovski, Peterzil and Pillay. We construct a natural homomorphism between the definable fundamental groupoid of G and the fundamental groupoid of G/G 00 which is equivariant under the action of G and induces a natural isomorphism on the fundamental groups. We use this to prove the following result. Let G and G ′ be two definably compact definably connected groups with isomorphic associated Lie groups. Then G and G ′ are definably homotopy equivalent. Moreover given a finite subgroup Γ of G, there is a definable homotopy equivalence f: G → G ′ that restricted to Γ is an isomorphism onto its image and such that f(cx) = f(c)f(x) for all c ∈ Γ and x ∈ G. In the semisimple case a stronger result holds: any Lie isomorphism from G/G 00 to G ′ /G ′00 induces a definable isomorphism from G to G ′. 1.

연구 동기 및 목표

• 정의적으로 컴팩트하고 정의적으로 연결된 군 G의 정의적 기본군과 그에 대응하는 리 군 G/G⁰⁰의 기본군 사이의 동형사상의 함자적이고 기하학적인 성격을 명확히 하기.
• 이 동형사상 아래 특정 생성자의 상이 무엇인지에 대한 이해 부족을 해결하기.
• G의 정의적 기본군자기군과 G/G⁰⁰의 기본군자기군 사이의 자연스럽고 G-등변 호모모르피즘을 수립하기.
• 해당 리 군이 서로 동형인 경우 원래의 정의적 군들 사이에 정의적 호모토플리 동치가 존재함을 증명하기.
• 이러한 호모토플리 동치가 군 작용과 호환되도록 하여, 유한 부분군을 유지할 수 있음을 보여주기.

제안 방법

• 최근 허슈프스키, 페테르잘, 필레이에 의해 증명된 컴팩트 지배 추측을 활용하여, 정의적 군과 그에 대응하는 리 군을 연결한다.
• G의 정의적 기본군자기군과 G/G⁰⁰의 기본군자기군 사이의 G-등변 호모모르피즘을 구성한다.
• G/G⁰⁰가 실 리 군으로서의 표준적 식별을 통해, 리 군의 위상적 및 대수적 성질을 정의적 군으로 이행한다.
• 호모모르피즘의 등변성 조건을 적용하여, 특히 유한 부분군에 대한 군 작용과의 호환성을 확보한다.
• 기본군에 유도된 사상이 동형사상임을 증명하여, 기본군의 구조를 유지함을 보인다.
• 결과를 단순형의 경우에 적용하여, G/G⁰⁰와 G′/G′⁰⁰ 사이의 임의의 리 군 동형사상이 G와 G′ 사이의 정의적 동형사상으로 올라감을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정의적으로 컴팩트하고 정의적으로 연결된 군의 정의적 기본군과 그에 대응하는 리 군의 기본군 사이의 동형사상은 어떻게 함자적이고 기하학적으로 명확하게 만들 수 있는가?
• RQ2 정의적 기본군의 주어진 생성자가 리 군의 기본군의 동형사상 아래에서 어떤 상을 갖는가?
• RQ3 해당 리 군이 서로 동형인 두 개의 정의적으로 컴팩트하고 정의적으로 연결된 군 사이에 정의적 호모토플리 동치를 구성할 수 있는가?
• RQ4 이러한 호모토플리 동치는 군 작용과 가환하고, 유한 부분군을 유지하도록 선택할 수 있는가?
• RQ5 G/G⁰⁰와 G′/G′⁰⁰ 사이의 리 군 동형사상이 단순형의 경우 반드시 G와 G′ 사이의 정의적 동형사상으로 올라가는가?

주요 결과

• 정의적으로 컴팩트하고 정의적으로 연결된 군이 그에 대응하는 리 군이 서로 동형인 경우, 정의적으로 호모토플리 동치이다.
• 정의적 군과 리 군의 기본군자기군 사이의 호모모르피즘은 G-등변이며, 기본군에 대해 동형사상을 유도한다.
• G의 임의의 유한 부분군 Γ에 대해, f: G → G′ 인 정의적 호모토플리 동치 f 가 존재하여, 모든 c ∈ Γ 및 x ∈ G에 대해 f(cx) = f(c)f(x) 를 만족한다.
• f의 Γ에 대한 제한은 그 이미지 위로의 동형사상이다.
• 단순형의 경우, G/G⁰⁰와 G′/G′⁰⁰ 사이의 임의의 리 군 동형사상은 G와 G′ 사이의 정의적 동형사상으로 올라간다.
• 이 구성은 기본군 간의 자연스럽고 표준적인 동형사상을 제공하여, 생성자의 상에 대한 모호함을 해결한다.