[논문 리뷰] Equivariant Matrix Factorizations and Hamiltonian reduction

Sergey Arkhipov, Tina Kanstrup|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 26.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 11인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유도된 섬유 $\mu^{-1}(0)$ 위의 $G$--equivariant 코herent sheaf의 유도 범주와 $T^*X \times \mathfrak{g}$ 위의 잠재력 $W = \mu$를 가진 $G$-equivariant 행렬 인수화의 유도 범주 사이의 등가성을 확립한다. 여기서 $\mu: T^*X \to \mathfrak{g}^*$ 는 순간 지도이다. 이 결과는 $D^b(\operatorname{Coh}^{L_{\text{top}}(B)}(L_{\text{top}}(X)))$ 에 대한 구체적이고 무한 범주론적이지 않은 모델을 제공하며, 행렬 인수화를 통해 유도된 루프 공간과 해밀토니안 축소를 연결한다.

ABSTRACT

Let $X$ be a smooth scheme with an action of an algebraic group $G$. We establish an equivalence of two categories related to the corresponding moment map $μ: T^*X o Lie(G)^*$ - the derived category of G-equivariant coherent sheaves on the derived fiber $μ^{-1}(0)$ and the derived category of $G$-equivariant matrix factorizations on $T^*X imes Lie(G)$ with potential given by $μ$.

연구 동기 및 목표

• 유도된 루프 공간 $L_{\text{top}}(X)$ 위의 $L_{\text{top}}(B)$-equivariant 코herent sheaves의 유도 범주에 대한 실용적인 모델을 구축하기 위해.
• 이 범주를 순간 지도와 행렬 인수화를 통해 해밀토니안 축소와 연결하기 위해.
• $D^b(\operatorname{Coh}^{L_{\text{top}}(B)}(L_{\text{top}}(X)))$ 의 무한 범주론적이지 않은 실현을 등가성 행렬 인수화를 사용하여 제공하기 위해.
• 재구성된 군에 대한 임베딩을 통해 등가성을 임의의 선형 대수적 군으로 확장하기 위해.

제안 방법

• Hochschild-Kostant-Rosenberg 정리를 사용하여 $\mathcal{O}_{L_{\text{top}}(X)}}$ 를 미분형식의 DG-대수인 $\Omega_X$ 와 식별한다.
• Koszul 대칭을 적용하여 $\Omega_X$-모듈드와 $\Lambda(\mathfrak{b}) \otimes \mathcal{O}_{T^*X}$-모듈드 사이의 관계를 설정함으로써 $L_{\text{top}}(B)$-equivariance 를 표현한다.
• 순간 지도에서 유도된 미분형식을 이용하여 유도된 섬유 $\mu^{-1}(0)$ 를 $G$-equivariant DG-대수 $\Lambda(\mathfrak{g}) \otimes \mathcal{O}_{T^*X}$ 로 구성한다.
• 잠재력 $W: T^*X \times \mathfrak{g} \to \mathbb{C}$ 를 $\mu \times \text{id} \circ \langle \cdot, \cdot \rangle$ 의 복합으로 정의하여 순간 지도의 쌍대를 표현한다.
• 선형 대수적 군 $H$ 를 재구성된 군 $G$ 에 임베딩하여 일반적인 경우를 재구성된 경우로 환원한다.
• 유도된 McKay 대응과 유도된 몫 $\mu^{-1}(0)/G$ 의 구조를 통해 등가성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한 범주론적 도구 없이도 $L_{\text{top}}(B)$-equivariant 코herent sheaves의 유도 범주를 $L_{\text{top}}(X)$ 위에서 실현할 수 있는가?
• RQ2 순간 지도 $\mu: T^*X \to \mathfrak{g}^*$ 는 등가성 행렬 인수화의 구조와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 유도된 섬유 $\mu^{-1}(0)$ 위의 $G$-equivariant 코herent sheaves와 $T^*X \times \mathfrak{g}$ 위의 $G$-equivariant 행렬 인수화 사이에 구체적인 등가성이 존재하는가?
• RQ4 이 등가성은 재구성된 군에서 임의의 선형 대수적 군으로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• $D^b(\operatorname{Coh}^G(\mu^{-1}(0)))$ 와 $\operatorname{DMF}_G(T^*X \times \mathfrak{g}, W)$ 사이에 준등치가 존재하며, 여기서 $W$ 는 순간 지도의 쌍대이다.
• 유도된 섬유 $\mu^{-1}(0)$ 는 Koszul 유형의 미분을 가진 $G$-equivariant DG-대수 $\Lambda(\mathfrak{g}) \otimes \mathcal{O}_{T^*X}$ 로 실현된다.
• 만약 $X$ 에서 $G$ 가 자유롭게 작용한다면, 해밀토니안 축소 $\mu^{-1}(0)/G$ 는 $T^*(X/G)$ 와 동형이며, 이 경우 등가는 $\operatorname{DMF}_{\mathbb{C}^*}((T^*X \times \mathfrak{g})/G, \bar{W}) \simeq D^b(\operatorname{Coh}(T^*(X/G)))$ 로 된다.
• 임의의 선형 대수적 군 $H$ 에 대해서는 재구성된 군 $G$ 에 대한 임베딩을 통해 등가성이 확장되며, 이에 따라 $\operatorname{DMF}_{\mathbb{C}^*}(E^\vee/H, \bar{W}) \simeq D^b(\operatorname{Coh}^H(Y))$ 가 성립한다.
• $X = G$, $H = B$ 인 경우, 스프링거 분해 $\tilde{\mathcal{N}} \simeq T^*(G/B)$ 가 복구되며, $\operatorname{DMF}_{\mathbb{C}^*}((T^*G \times \mathfrak{b})/B, \bar{W}) \simeq D^b(\operatorname{Coh}^G(\tilde{\mathcal{N}}))$ 가 성립한다.