[논문 리뷰] Equivariant monads and equivariant lifts versus a 2-category of distributive laws

Zoran Škoda|ArXiv.org|2007. 07. 11.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 C-actegory에서의 등변 모나드와 코라크 등변 함자 사이의 2-범주 간 이somorphism을 수립하며, Beck의 고전적 이분할 법칙 이중사상의 일반화를 제공한다. 등변 모나드는 C-행동과 관련된 모나드 쌍과 이분할 법칙으로 표현되며, 고차원 호모토피 구조는 다각형 다이어그램으로 대체된다. 이 이론은 일반화된 등변 이분할 법칙과 편균형 알제브라 간의 상대적 이분할 법칙으로 확장된다.

ABSTRACT

Fix a monoidal category C. The 2-category of monads in the 2-category of C-actegories, colax C-equivarant functors, and C-equivariant natural transformations of colax functors, may be recast in terms of pairs consisting of a usual monad and a distributive law between the monad and the action of C, morphisms of monads respecting the distributive law, and transformations of monads satisfying some compatibility with the actions and distributive laws involved. The monads in this picture may be generalized to actions of monoidal categories, and actions of PRO-s in particular. If C is a PRO as well, then in special cases one gets various distributive laws of a given classical type, for example between a comonad and an endofunctor or between a monad and a comonad. The usual pentagons are in general replaced by multigons, and there are also ``mixed'' multigons involving two distinct distributive laws. Beck's bijection between the distributive laws and lifts of one monad to the Eilenberg-Moore category of another monad is here extended to an isomorphism of 2-categories. The lifts of maps of above mentioned pairs are colax C-equivariant. We finish with a short treatment of relative distributive laws between two pseudoalgebra structures which are relative with respect to the distributivity of two pseudomonads involved, what gives a hint toward the generalizations.

연구 동기 및 목표

• 이분할 법칙과 모나드 릿지 사이의 Beck의 고전적 이중사상을 2-범주적 이somorphism으로 일반화하기.
• C-actegory에서의 모나드 2-범주를 모나드와 모나드적 행동 사이의 이분할 법칙을 통해 재구성하기.
• PRO의 작용과 편균형 알제브라로 이론을 확장하여 상대적 이분할 법칙 포함하기.
• 다각형 호모토피 조건(오각형 대신)을 사용하는 고차원 이분할 법칙을 위한 범주론적 프레임워크 제공하기.
• 코라크 C-등변 함자와 호환되는 자연 변환을 통해 모나드의 등변 릿지 형식으로 표현하기.

제안 방법

• 모노이드 범주 C의 좌행동이 일관되게 정의된 범주를 C-actegory로 정의한다.
• 행동 이so모피즘과의 호환성을 만족하는 자연 변환 ζ: F(C ⋄ M) ⇒ C ⋄ F(M)를 통해 C-actegory 간의 코라크 C-등변 함자를 도입한다.
• C-actegory, 코라크 C-등변 함자, C-등변 자연 변환으로 구성된 엄격한 2-범주 C-act^c를 구성한다.
• 이 2-범주에서의 모나드를 T가 모나드이고 λ가 T와 C-행동 사이의 이분할 법칙인 쌍 (T, λ)로 표현한다.
• Beck의 오각형을 일반화한 다각형의 붙임 다이어그램을 사용하여 편균형 알제브라 간의 이분할 법칙의 호모토피 조건을 표현한다.
• 편균형 모나드 간의 상대적 이분할 법칙을 정의하기 위해, 편균형 모나드 간의 표준적 역전이 편균형 이분할 법칙 can: CD ⇒ DC를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Beck의 이분할 법칙과 모나드 릿지 사이의 이중사상을 2-범주적 이somorphism으로 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 C-actegory의 2-범주에서의 모나드의 구조는 무엇이며, 이는 어떻게 모나드와 C-행동 사이의 이분할 법칙으로 기술할 수 있는가?
• RQ3 등변 모나드의 호모토피 조건은 어떻게 오각형에서 다각형으로 일반화되는가?
• RQ4 편균형 모나드 간의 상대적 이분할 법칙을 정의하는 데서 표준적 편균형 이분할 법칙 can: CD ⇒ DC의 역할은 무엇인가?
• RQ5 코라크 C-등변 함자와 변환은 어떻게 모나드의 등변 릿지를 표현하는가?

주요 결과

• C-actegory에서의 모나드 2-범주는 모나드와 C-행동 사이의 이분할 법칙의 2-범주와 이somorphic하다.
• 고전적 Beck 이중사상은 2-범주적 이somorphism으로 확장되며, 모나드의 릿지는 코라크 C-등변 함자로 표현된다.
• 이분할 법칙의 호모토피 조건은 오각형 대신 다각형 다이어그램으로 규정되며, 이는 고차원 범주론적 구조를 반영한다.
• 이론은 PRO의 작용으로 일반화되며, 모나드와 코모나드 간의 고전적 이분할 법칙을 포함한다.
• 편균형 알제브라 간의 상대적 이분할 법칙은 표준적 편균형 이분할 법칙 can: CD ⇒ DC를 사용하여 정의되며, 비자명한 2-세포를 포함하는 붙임 다이어그램이 사용된다.
• 티캔 항등식 및 기타 이분할 법칙의 호모토피 항등식은 포함된 고차원 호모토피 셀을 갖는 붙임 다이어그램을 통해 표현된다.