[논문 리뷰] Equivariant Spectral Sequences for Local Coefficients

Megan Guichard Shulman|arXiv (Cornell University)|2010. 05. 03.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 국소 계수를 갖는 브레돈 코hom로를 계산하기 위한 등변 스펙트럴 시퀀스를 개발하며, 유니버설 커버와 군 링 작용을 사용하여 아이lene버그의 등변이 아닌 스펙트럴 시퀀스를 일반화한다. 이 방법을 $B_{C_p}O(2)$의 등변 코homology 계산에 적용하여, $H^{*}_{C_p}(B_{C_p}SO(2);A)$의 $\mathbb{Z}/2$-고정 부분대수와 동형임을 보이며, 이는 $D_{2k}$, $D_{2k-1}C$, $C^2$ 등 특정 클래스들에 의해 생성된다. 스펙트럴 시퀀스는 등변 호모로지 군의 프로젝티브 성질로 인해 $E_2$에서 붕괴되며, 확장 문제 없이 발생한다.

ABSTRACT

We recall how a description of local coefficients that Eilenberg introduced in the 1940s leads to spectral sequences for the computation of homology and cohomology with local coefficients. We then show how to construct new equivariant analogues of these spectral sequences and give a worked example of how to apply them in a computation involving the equivariant Serre spectral sequence. This paper contains some of the material in the author's Ph.D. thesis, which also discusses some results of L. Gaunce Lewis on the cohomology of complex projective spaces and corrects some flaws in his paper.

연구 동기 및 목표

• 국소 계수를 갖는 호모로지 및 코호몰로지에 대해 아이lene버그의 스펙트럴 시퀀스의 등변 동반체를 개발하기 위해.
• 특히 세르 스펙트럴 시퀀스 적용에서 등변 코homology를 계산하기 위한 도구의 부족을 해결하기 위해.
• 레위스의 복소 프로젝티브 공간의 코homology에 대한 오류를 수정하고 이러한 계산을 위한 엄밀한 프레임워크를 제공하기 위해.
• 등변 아이lene버그 스펙트럴 시퀀스를 사용하여 $H^{*}_{C_p}(B_{C_p}O(2);A \otimes \mathbb{F}_q)$의 상세한 계산을 통해 방법을 시연하기 위해.
• 등변 세르 스펙트럴 시퀀스가 $E_2$에서 붕괴되며, $S^\infty$의 호모로지의 프로젝티브 성질로 인해 확장 문제가 없음을 보여주기 위해.

제안 방법

• 유니버설 커버 $\tilde{X}$와 $R[\pi_1(X)]$-모듈 구조를 통해 국소 계수의 아이lene버그 정의를 등변 설정으로 일반화한다.
• 카테고리 $\Pi = \Pi_{C_p} B_{C_p} \mathbb{Z}/2$와 $S^\infty$의 $\Pi$-모듈로서의 호모로지를 사용하여 등변 아이lene버그 스펙트럴 시퀀스를 구성한다.
• 지속형 $f: B_{C_p}O(2) \to B_{C_p}\mathbb{Z}/2$에 스펙트럴 시퀀스를 적용하며, 국소 계수 체계 $h_{C_p}^{V+t}(f;A)$를 사용한다.
• $\mathcal{H}_*(S^\infty)$가 0 또는 $\underline{\mathbb{F}_q}$이며, 둘 다 프로젝티브이므로 $\operatorname{Ext}^u$가 $u > 0$일 때 0이 되며, 이는 $E_2$에서 붕괴됨을 의미한다.
• Hom 함자 $\operatorname{Hom}_\Pi(\underline{\mathbb{F}_q}, \cdot)$를 사용하여 $H^*_{C_p}(B_{C_p}O(2);A)$를 $H^*_{C_p}(B_{C_p}SO(2);A)$의 $\mathbb{Z}/2$-고정 부분대수로 식별한다.
• 녹린 포터 $\underline{H}^*_{C_p}(B_{C_p}O(2))$가 $\underline{H}^*_{C_p}(\mathbb{C}P(\mathcal{U}))$의 생성자 $D_{2k}, D_{2k-1}C, C^2$에서 생성되는 부분-녹린 포터임을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $C_p$-작용을 갖는 등변 설정으로 아이lene버그의 국소 계수에 대한 등변이 아닌 스펙트럴 시퀀스를 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 국소 계수를 갖는 등변 세르 스펙트럴 시퀀스의 붕괴 조건은 무엇이며, 확장 문제를 피하기 위해 어떤 조건이 필요한가?
• RQ3 $B_{C_p}O(2)$의 코homology는 $\mathbb{Z}/2$-작용 하에서 $B_{C_p}SO(2)$의 코homology와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 생성자와 관계에 관해 녹린 포터 $\underline{H}^*_{C_p}(B_{C_p}O(2))$의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ5 등변 아이lene버그 스펙트럴 시퀀스를 사용하여 $H^*_{C_p}(B_{C_p}O(2);A \otimes \mathbb{F}_q)$를 명시적으로 계산할 수 있는가?

주요 결과

• 등변 아이lene버그 스펙트럴 시퀀스는 $\mathcal{H}_*(S^\infty)$가 $\Pi$-모듈로서 프로젝티브이므로 $E_2$에서 붕괴되며, 확장 문제가 없다.
• 세르 스펙트럴 시퀀스의 $E_2$ 페이지는 $\operatorname{Hom}_\Pi(\mathcal{H}_*(S^\infty), h_{C_p}^{V+t}(f;A))$와 동형이며, $u > 0$일 때 $\operatorname{Ext}^u$가 0이 되어 단순화된다.
• $H^*_{C_p}(B_{C_p}O(2);A)$는 $H^*_{C_p}(B_{C_p}SO(2);A)$의 $\mathbb{Z}/2$-고정 부분대수와 동형이며, 즉 $H^*_{C_p}(B_{C_p}O(2);A) \cong H^*_{C_p}(B_{C_p}SO(2);A)^{\mathbb{Z}/2}$이다.
• 녹린 포터 $\underline{H}^*_{C_p}(B_{C_p}O(2))$는 $\underline{H}^*_{C_p}(B_{C_p}SO(2))$의 부분-녹린 포터이며, $D_{2k}$, $D_{2k-1}C$, $C^2$에 의해 생성된다.
• 계산 결과 $H^*_{C_p}(B_{C_p}O(2);A \otimes \mathbb{F}_q)$는 $H^*(\mathbb{C}P^\infty)$의 등변이 아닌 생성자 $x$의 짝수 거듭제곱에 의해 생성되며, 이는 $\mathbb{Z}/2$-고정 부분에 제한된 것이다.
• $\operatorname{Hom}_\Pi(\underline{\mathbb{F}_q}, \scr{N})$는 $\scr{N}(C_p, x_0)^{\mathbb{Z}/2}$와 일대일 대응되며, 이는 코homology를 고정 부분으로 명시적으로 식별할 수 있게 한다.