[논문 리뷰] Equivariant symplectic geometry of cotangent bundles, II

Dmitri A. Timashev|ArXiv.org|2005. 02. 14.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 재구성된 리 군의 작용을 받는 임의의 매끄러운 대수기하학적 다양체에 대해 비닝베르의 등변 심플렉틱 코팅 구조를 코탄젠트 번들의 경우에서 일반화한다. 보다 정교한 국소 구조 정리와 함께, 열화된 호로스피어의 다양체의 코탄젠트 번들을 사용하여 $T^*X$의 유리 함수 Galois 코팅을 구성함으로써, $G$, $A$, 및 웨일 군의 심플렉틱 작용을 통한 불변 집단 운동의 통합이 가능해진다.

ABSTRACT

We examine the structure of the cotangent bundle $T^{*}X$ of an algebraic variety $X$ acted on by a reductive group $G$ from the viewpoint of equivariant symplectic geometry. In particular, we construct an equivariant symplectic covering of $T^{*}X$ by the cotangent bundle of a certain variety of horospheres in $X$, and integrate the invariant collective motion on $T^{*}X$. These results are based on a "local structure theorem" describing the action of a certain parabolic in $G$ on an open subset of $X$, which is interesting by itself.

연구 동기 및 목표

• 비아핀이 아닌 임의의 매끄러운 대수기하학적 다양체에 대해 비닝베르의 $T^*X$에 대한 유리 함수 Galois 코팅을 일반화하는 것.
• 열화된 경우에도 포함하여, 호로스피어의 다양체의 코탄젠트 번들을 사용하여 $T^*X$에 대한 등변 심플렉틱 코팅을 구성하는 것.
• 비특이성 조건을 갖지 않는 일반적인 위치에서의 모멘트 맵과 안정자에 대한 콘의 결과에 대해 양자화하지 않은 고전적 증명을 제공하는 것.
• 심플렉틱 작용을 통해 $A$와 웨일 군을 사용하여 코팅 공간으로의 상승을 통한 $T^*X$ 위의 불변 집단 운동의 통합.
• 모멘트 맵 이미지, 호로스피어 기하학, $T^*X$ 위의 적분 가능한 해밀턴 시스템을 연결하는 기하학적 프레임워크 수립.

제안 방법

• 파라보릭 부분군의 $X$의 열린 부분집합 위에서의 작용을 묘사하는 정교한 국소 구조 정리 개발. 이는 이전 결과의 일반화이다.
• 심플렉틱 구조 분석을 위해 모멘트 맵 $\Phi: T^*X \to \mathfrak{g}^*$ 와 그 교차면 $\Sigma$ 위로의 제한을 사용한다.
• 군 $A = Z(M)/(Z(M) \cap L_0)$ 를 사용하여 호로스피어의 다양체의 코탄젠트 번들을 통해 $\widehat{T}^{\mathrm{pr}}X \to T^{\mathrm{pr}}X$ 의 심플렉틱 코팅을 구성한다.
• $\widehat{T}^{\mathrm{pr}}X$ 에서의 $A$-작용을 정의하며, 이의 기울기 반대 방향 벡터장은 불변 집단 운동을 통합한다.
• $G \times (W_X \rtimes A)$ 가 $\widehat{T}^{\mathrm{pr}}X$ 위에 해밀턴 작용하며, 모멘트 맵 $ (\widehat{\Phi}, \Pi) $ 를 가지며, $G$- 및 $A$-심플렉틱 작용을 통합한다.
• $A$-작용이 자유롭고 심플렉틱임을 증명하며, 그 궤도는 $X$의 평면과 대응하며, 이는 $A$ 와 동형이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비닝베르의 $T^*X$에 대한 심플렉틱 코팅 구조는 비아핀 다양체를 초월하여 일반화될 수 있는가?
• RQ2 모멘트 맵 이미지와 일반 위치에서의 안정자 $T^*X$ 는 호로스피어와 파라보릭 부분군의 기하학과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 $X$의 비특이성 조건을 가정하지 않고도 $T^*X$ 위의 불변 집단 운동을 통합할 수 있는가?
• RQ4 웨일 군과 중심화자 $Z(M)$ 은 심플렉틱 코팅과 궤도 구조에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 등변 컴actsification에서 일반 평면의 폐포는 토릭 다양체와 등변 임bedding 이론과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 논문은 열화된 호로스피어의 다양체의 코탄젠트 번들을 통해 $T^*X$ 에 대한 등변 심플렉틱 유리 함수 Galois 코팅 $\widehat{T}^{\mathrm{pr}}X \to T^{\mathrm{pr}}X$ 를 구성한다.
• $\widehat{T}^{\mathrm{pr}}X$ 위의 $A$-작용은 불변 집단 운동을 통합하며, 궤도는 $A$ 와 동형이며, 이는 $X$ 의 평면과 대응한다.
• $T^*X$ 의 모멘트 맵 이미지는 교차면 $\Sigma$ 를 통해 묘사되며, 국소 구조 정리로 일반 위치에서의 안정자가 결정된다.
• $A$-작용은 심플렉틱이며, 그 모멘트 맵 $\Pi$ 는 $G$-불변이며, 기울기 반대 방향의 벡터장은 $\xi \in \mathfrak{a}$ 의 속도장과 일치한다.
• $W_X \rtimes A$ 는 $\widehat{T}^{\mathrm{pr}}X$ 위에 심플렉틱하게 작용하며, $G$, $A$, $W_X$ 의 병합된 작용은 모멘트 맵 $ (\widehat{\Phi}, \Pi) $ 를 가진 해밀턴 시스템을 이룬다.
• 일반적인 $\alpha \in \widehat{T}^{\mathrm{pr}}X$ 에 대해, 불변 집단 운동의 궤도는 $ (G_\mu)^\circ \alpha $ 이며, 이에 대응하는 평면 $F_\alpha \simeq A $ 이다.