[논문 리뷰] Erasures repair for decreasing monomial-Cartesian and augmented Reed-Muller codes of high rate

Hiram H. López, Gretchen L. Matthews외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 07. 03.

Coding theory and cryptography참고 문헌 16인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 Reed-Muller 및 Cartesian 코드에 벡터를 추가하여 생성되는 평가 코드인 보강 Reed-Muller(ARM) 및 보강 Cartesian(ACar) 코드를 소개한다. 이는 한 개 또는 두 개의 오류 발생 시 효율적인 선형 정확 복구를 가능하게 한다. 이전의 방법들과 달리, ARM 및 ACar 코드의 두 오류 복구는 오류 위치에 대한 제약이 없으며, 고정된 차원 또는 길이 조건 하에서 Reed-Solomon 또는 Hermitian 코드보다 더 낮은 대역폭을 달성한다. 점점 증가하는 확장 차수에 따라 점근적 분석 결과, ARM 및 ACar 코드는 대역폭이 0에 수렴하고 비율이 1에 수렴하는 고율을 달성할 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

In this work, we present linear exact repair schemes for one or two erasures in decreasing monomial-Cartesian codes DM-CC, a family of codes which provides a framework for polar codes. In the case of two erasures, the positions of the erasures should satisfy a certain restriction. We present families of augmented Reed-Muller (ARM) and augmented Cartesian codes (ACar) which are families of evaluation codes obtained by strategically adding vectors to Reed-Muller and Cartesian codes, respectively. We develop repair schemes for one or two erasures for these families of augmented codes. Unlike the repair scheme for two erasures of DM-CC, the repair scheme for two erasures for the augmented codes has no restrictions on the positions of the erasures. When the dimension and base field are fixed, we give examples where ARM and ACar codes provide a lower bandwidth (resp., bitwidth) in comparison with Reed-Solomon (resp., Hermitian) codes. When the length and base field are fixed, we give examples where ACar codes provide a lower bandwidth in comparison with ARM. Finally, we analyze the asymptotic behavior when the augmented codes achieve the maximum rate.

연구 동기 및 목표

• 기존의 GW-스키마가 적용되지 않는 경우를 포함한 고율 평가 코드에서 한 개 또는 두 개의 오류 복구 방법을 개발하는 것.
• 표준 Reed-Muller 및 Cartesian 코드에 특정 벡터를 추가하여 차원을 증가시키고, 더 넓은 조건 하에서 복구가 가능한 보강 Reed-Muller(ARM) 및 보강 Cartesian(ACar) 코드를 설계하는 것.
• 고정된 차원 또는 길이 조건 하에서 ARM 및 ACar 코드의 대역폭과 비트폭을 Reed-Solomon 및 Hermitian 코드와 비교하는 것.
• 확장 차수 t → ∞로 갈수록 이러한 코드의 점근적 행동을 분석하여 비율과 대역폭에 초점을 맞추는 것.
• ARM 및 ACar 코드가 한계에 다다를 때 고율(1에 수렴)과 낮은 복구 대역폭(0에 수렴)을 달성할 수 있음을 보여주는 것.

제안 방법

• 논문은 확장체 K = Fqt 위에서 평가 코드로서 ARM 및 ACar 코드를 구성하며, 각각 Reed-Muller 및 Cartesian 코드에 특정한 벡터를 추가하여 차원을 증가시킨다.
• 하나의 기저 필드 Fq 위에서 부분기호(subsymbols)와 필드 추적 함수 TrK/Fq를 사용하여, 최소한의 데이터 다운로드로 손실된 기호를 복구하는 선형 정확 복구 스킴을 개발한다.
• 한 개의 오류 발생 시, 복구 스킴은 추적 함수와 부분기호 분해를 이용하여 손실된 성분을 복원하며, ARM 코드의 경우 대역폭 b = |K|m −1 + (t−1)(|K|m−1 −1)를 갖는다.
• 두 개의 오류 발생 시, 복구 스킴은 DM-CC에서 특정 대수적 조건을 만족할 때 적용되지만, ARM 및 ACar 코드의 경우 이러한 제약이 존재하지 않는다.
• 대역폭과 비율을 t → ∞로 갈수록 점근적으로 분석하여, 최적의 파rameter 선택 조건 하에서 limt→∞ 대역폭/nt → 0 및 limt→∞ 비율 → 1임을 보여준다.
• 예시로 다양한 평가 집합(예: ni = qt−1 + 1, ni = qt−1, 또는 nm = 2qt−1)을 사용하여, 0에서 1 − 1/qm 사이의 다양한 점근적 비율 한계를 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Reed-Solomon 코드의 GW-스키마가 적용되지 않는 고율 평가 코드에서 한 개 또는 두 개의 오류 복구 스킴을 개발할 수 있는가?
• RQ2 고정된 차원 또는 길이 조건 하에서 보강 Reed-Muller 및 보강 Cartesian 코드가 Reed-Solomon 또는 Hermitian 코드보다 더 낮은 복구 대역폭을 달성할 수 있는가?
• RQ3 확장 차수 t → ∞일 때 ARM 및 ACar 코드의 비율과 대역폭의 점근적 행동은 어떻게 되는가?
• RQ4 평가 집합의 선택이 ACar 코드의 점근적 비율과 대역폭에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 ACar 코드를 설계하여 오류 위치에 제약 없이 고율과 낮은 복구 대역폭을 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 고정된 차원과 기초 필드 조건 하에서, 특정 파rameter 영역에서 ARM 코드는 Reed-Solomon 코드보다 더 낮은 대역폭을, Hermitian 코드보다 더 낮은 비트폭을 달성한다.
• 길이와 기초 필드가 고정된 조건에서, 특정 예시에서 ACar 코드는 ARM 코드보다 더 낮은 대역폭을 달성할 수 있다.
• ARM2(Km, k∗)의 점근적 비율은 t → ∞일 때 1에 수렴하며, 대역폭/nt → 0이다.
• ACar1(S, k∗)에서 ni = qt−1 + 1인 경우 점근적 비율은 0에 수렴하지만, i < m에 대해 ni = qt−1이고 nm = 2qt−1인 경우 비율은 1/2에 수렴한다.
• |S| = Km일 때, ACar1(S, k∗)의 점근적 비율은 1 − 1/qm에 수렴하며, 이는 ARM1 코드의 한계와 일치한다.
• 모든 경우에서 대역폭/길이 비율인 대역폭/nt는 t → ∞일 때 0에 수렴하며, 이는 점근적 영역에서 효율적인 복구를 의미한다.