[논문 리뷰] Erd\H{o}s-Ginzburg-Ziv constants by avoiding three-term arithmetic progressions

Jacob Fox, Lisa Sauermann|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 30.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유한체 위의 벡터 공간에서 3항 등차수열을 가진 부분집합의 크기 r(Fn_p)와 Erdřs-Ginzburg-Ziv 상수 s(G) 사이의 새로운 연결 고리를 설정한다. Ellenberg와 Gijswijt의 r(Fn_p)에 대한 경계를 활용하여, 저자들은 이전의 Naslund의 경계보다 크게 향상된 상한 s(Fn_p) ≤ 2p · r(Fn_p)를 도출한다. 이 결과는 p-군으로 분해함으로써 임의의 유한 아벨 군으로 일반화된다.

ABSTRACT

For a finite abelian group $G$, the Erd\H{o}s-Ginzburg-Ziv constant $\mathfrak{s}(G)$ is the smallest $s$ such that every sequence of $s$ (not necessarily distinct) elements of $G$ has a zero-sum subsequence of length $\operatorname{exp}(G)$. For a prime $p$, let $r(\mathbb{F}_p^n)$ denote the size of the largest subset of $\mathbb{F}_p^n$ without a three-term arithmetic progression. Although similar methods have been used to study $\mathfrak{s}(G)$ and $r(\mathbb{F}_p^n)$, no direct connection between these quantities has previously been established. We give an upper bound for $\mathfrak{s}(G)$ in terms of $r(\mathbb{F}_p^n)$ for the prime divisors $p$ of $\operatorname{exp}(G)$. For the special case $G=\mathbb{F}_p^n$, we prove $\mathfrak{s}(\mathbb{F}_p^n)\leq 2p\cdot r(\mathbb{F}_p^n)$. Using the upper bounds for $r(\mathbb{F}_p^n)$ of Ellenberg and Gijswijt, this result improves the previously best known upper bounds for $\mathfrak{s}(\mathbb{F}_p^n)$ given by Naslund.

연구 동기 및 목표

• 유한체 위의 벡터 공간에서 3항 등차수열을 가진 부분집합의 크기 r(Fn_p)와 Erdřs-Ginzburg-Ziv 상수 s(G) 사이의 직접적 연결 고리를 설정하기.
• r(Fn_p)에 대한 알려진 경계와 관련하여 s(Fn_p)의 기존 상한을 향상시키기.
• 유한 아벨 군을 p-군으로 분해하고 각 성분에 대해 결과를 적용함으로써 이 결과를 임의의 유한 아벨 군으로 일반화하기.

제안 방법

• Ellenberg, Gijswijt, Tao가 개발한 슬라이스 랭크 방법과 다항식 방법을 사용하여 r(Fn_p)를 경계하기.
• 부분군 H에 대해 s(H)와 s(G/H)로 s(G)를 경계하기 위한 레퍼런스 7(재귀적 분해 보조정리)의 적용.
• p-군의 구조를 이용한 귀납적 증명을 통해 G = (Z/p^a_i Z)^n 에 대해 s(G)를 s(Fn_p)로 경계하기.
• 일반적인 유한 아벨 군 G를 각각 p_i-군인 p-주요 성분 G_i로 분해하기.
• 각 G_i에 대한 s(G_i) 경계를 p-군 결과와 군의 구조를 조합하여 s(G)에 대한 전반적 경계 유도하기.
• r(Fn_p) ≤ (J(p)p)^n 이며 0.8414 ≤ J(p) ≤ 0.9184 라는 알려진 경계를 사용하여 정량적 향상 확보하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Erdřs-Ginzburg-Ziv 상수 s(G)는 Fn_p에서 3항 등차수열을 가진 부분집합의 크기 r(Fn_p)로 경계될 수 있는가?
• RQ2 s(Fn_p) ≤ 2p · r(Fn_p)라는 경계는 s(Fn_p)에 대한 기존에 알려진 최고의 상한을 향상시키는가?
• RQ3 이 연결 고리가 기본 아벨 p-군에서 임의의 유한 아벨 군으로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 s(Fn_p) ≤ 2p · r(Fn_p)를 증명하며, 이는 Naslund의 이전 경계보다 상당한 향상이다.
• G = Fn_p 인 경우, s(Fn_p) ≤ 2p · r(Fn_p)는 슬라이스 랭크 방법과 r(Fn_p)에 대한 Ellenberg-Gijswijt 경계를 사용하여 도출된다.
• 결과는 일반적인 유한 아벨 군으로 확장된다: s(G) < 3 exp(G) · (r(Fn1_p1) + ··· + r(Fnm_pm))이며, 여기서 p1, ···, pm은 exp(G)의 소인수이다.
• 이 경계는 일반적인 s(G) ≤ |G| + exp(G) - 1 보다 더 날카롭고, Naslund의 이전 결과보다 향상된다.
• 저자들은 s(Fn_p) ≤ 2p · r(Fn_p)가 r(Fn_p)의 알려진 점근적 행동과 일치하므로, 이 경계가 날카로운 것임을 보여준다.
• 증명 기법은 군의 분해와 s(G)에 대한 귀납적 경계를 통해, 이전에 별개로 다뤄졌던 문제들—영합 수열과 등차수열을 가진 부분집합이 없는 집합—을 연결한다.