[논문 리뷰] Ergodic components and topological entropy in geodesic flows of surfaces

Jan Philipp Schröder|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 23.

Advanced Differential Geometry Research참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 가역 Finsler 계량에서 위상적 엔트로피가 0인 2-구면과 2-토러스 위의 지측선 흐름을 조사한다. Katok의 구성과 Franks 및 Handel의 Birkhoff 원판에 관한 결과를 이용하여, 최소 두 개의 닫힌 지측선이 있고 모든 지측선이 공액점을 가지는 경우, 2-구면에서 전체 단위 접선다발 내에서의 에르고딕성과 조밀한 궤도는 불가능함을 증명한다—이는 초구형성과 양의 엔트로피를 암시한다. 2-토러스에서는 에르고딕성이 흐름에 관여하는 튜브의 엄밀한 부분집합에 국한된다.

ABSTRACT

We consider the geodesic flow of reversible Finsler metrics on the 2-sphere and the 2-torus, whose geodesic flow has vanishing topological entropy. Following a construction of A. Katok, we discuss examples of Finsler metrics on both surfaces, which have large ergodic components for the geodesic flow in the unit tangent bundle. On the other hand, using results of J. Franks and M. Handel, we prove that ergodicity and dense orbits cannot occur in the full unit tangent bundle of the 2-sphere, if the Finsler metric has positive flag curvatures and at least two closed geodesics. In the case of the 2-torus, we show that ergodicity is restricted to strict subsets of tubes between flow-invariant tori in the unit tangent bundle of the 2-torus.

연구 동기 및 목표

• 가역 Finsler 계량에서 위상적 엔트로피가 0인 2-구면과 2-토러스 위의 지측선 흐름에서의 에르고딕 성분의 구조를 이해하기 위해.
• 흐름이 위상적 엔트로피가 0일 때, 단위 접선다발 내에서 조밀한 궤도 또는 전체 에르고딕성이 발생할 수 있는지 여부를 규명하기 위해.
• 2-구면에서 공액점과 다수의 닫힌 지측선이 존재할 경우의 역학적 영향을 조사하기 위해.
• 특히 단위 접선다발 내의 관계를 유지하는 튜브 내에서의 제약 조건을 분석하기 위해 2-토러스에서의 에르고딕성에 대한 제약 조건을 연구하기 위해.
• 표면 역학과 단조 증가하는 테이프 맵 도구를 사용하여 날카로운 역학적 제약 조건을 설정하기 위해.

제안 방법

• 2-구면에서 두 개의 닫힌 지측선과 위상적 엔트로피가 0인 Finsler 계량을 구성하는 Katok의 방법을 적용한다.
• 최소 두 개의 닫힌 지측선이 있는 2-구면에서의 지측선 흐름 역학을 분석하기 위해 Birkhoff 원판 사상 기법을 사용한다.
• 단조 증가하는 테이프 맵에서 주기점과 관계를 유지하는 집합에 관한 Franks와 Handel의 결과를 적용하여 흐름의 구조를 제약한다.
• Poincaré 절단 기법과 첫 번째 귀환 사상 기법을 사용하여 흐름의 위상적 엔트로피를 귀환 사상의 엔트로피와 연결한다.
• 2-토러스의 단위 접선다발을 관계를 유지하는 토러스들의 합집합으로 간주하고, 그 사이의 튜브 내에서의 에르고딕 성분을 연구한다.
• 흐름에서의 0 엔트로피는 귀환 사상에서의 0 엔트로피를 암시하며, 귀환 시간의 균일한 유계성에 기반하여 이를 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가역 Finsler 계량에서 위상적 엔트로피가 0이고 최소 두 개의 닫힌 지측선이 있으며 모든 지측선이 공액점을 갖는 2-구면에서, 전체 단위 접선다발 내에서 지측선 흐름이 에르고딕이 될 수 있는가?
• RQ2 2-구면에서 지측선 흐름이 조밀한 궤도를 가지며 정규화된 위상적 엔트로피를 갖는다 하더라도, 양의 플래그 곡률 조건에서 어떤 역학적 결과가 도출되는가?
• RQ3 가역 Finsler 계량에서 위상적 엔트로피가 0일 경우, 2-구면의 단위 접선다발 내에서 에르고딕 성분이 얼마나 넓게 채워질 수 있는가?
• RQ4 2-토러스의 단위 접선다발에서 위상적 엔트로피가 0인 Finsler 계량 조건 하에서 에르고딕성은 어떻게 제약을 받는가?
• RQ5 2-토러스의 단위 접선다발 내에서 흐름에 관여하는 토러스와 튜브는 에르고딕 성분의 크기를 제한하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 2-구면에서, 최소 두 개의 닫힌 지측선이 있고 모든 지측선이 공액점을 갖는 가역 Finsler 계량이면, 위상적 엔트로피가 0일 경우 전체 단위 접선다발 내에서 지측선 흐름은 에르고딕이 될 수 없다.
• 동일한 조건 하에서, 2-구면의 단위 접선다발 내에 조밀한 궤도가 존재하면 양의 위상적 엔트로피를 가져야 하며, 이는 0 엔트로피 가정과 모순된다.
• 플래그 곡률이 양이며 최소 두 개의 닫힌 지측선이 존재하는 조건 하에서, 2-구면의 지측선 흐름은 전체 단위 접선다발 내에서 조밀한 궤도를 가질 수 없다.
• 2-토러스에서는 위상적 엔트로피가 0인 지측선 흐름의 에르고딕성이 흐름에 관여하는 토러스 사이의 튜브의 엄밀한 부분집합에 국한된다.
• Katok의 구성은 위상적 엔트로피가 0이고 두 개의 에르고딕 성분를 갖는 2-구면에서의 가역 Finsler 계량의 예를 제공하며, 이 성분들은 반대점 변환에 대해 대칭이며 측도상으로 임의로 크게 만들 수 있다.
• 결과적으로, 공액점과 다수의 닫힌 지측선이 존재하는 2-구면에서 에르고딕성 또는 조밀한 궤도가 발생할 경우, 초구형성—양의 위상적 엔트로피로 나타남—이 반드시 나타나야 한다.