[논문 리뷰] Ergodic properties of a class of non-Markovian processes

Martin Hairer|ArXiv.org|2007. 08. 24.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 20인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 비마르코프(stochastic) 과정에 의해 구동되는 비백색 잡음(non-white noise)을 포함하는 광범위한 클래스에서 정적 분포의 유일성에 대한 구성적 기준을 수립한다. 마르코프 과정 이론의 기법—특히 강한 펠러 조건과 위상적 기약성 조건—을 응용함으로써, 잡음에 대한 약한 스펙트럼 조건이 만족될 경우, i.i.d. 가우시안 잡음의 경우와 동일한 검증 방법이 적용됨을 보이며, 이는 마르코프적 설정을 넘어 비마르코프적 설정으로까지 에르고딕성 결과를 확장한다. 이는 정(stationary) 가우시안 잡음을 갖는 이산시간 과정을 포함한다.

ABSTRACT

We study a fairly general class of time-homogeneous stochastic evolutions driven by noises that are not white in time. As a consequence, the resulting processes do not have the Markov property. In this setting, we obtain constructive criteria for the uniqueness of stationary solutions that are very close in spirit to the existing criteria for Markov processes. In the case of discrete time, where the driving noise consists of a stationary sequence of Gaussian random variables, we give optimal conditions on the spectral measure for our criteria to be applicable. In particular, we show that under a certain assumption on the spectral density, our assumptions can be checked in virtually the same way as one would check that the Markov process obtained by replacing the driving sequence by a sequence of independent identically distributed Gaussian random variables is strong Feller and topologically irreducible. The results of the present article are based on those obtained previously in the continuous time context of diffusions driven by fractional Brownian motion.

연구 동기 및 목표

• 비마르코프 확률과정에 대해 정적 분포의 유일성에 대한 구성적 기준을 개발하는 것.
• 상관관계가 있는(비백색) 잡음을 갖는 시스템으로까지 마르코프 과정을 초월한 에르고딕성 이론을 확장하는 것.
• 강한 펠러 조건과 위상적 기약성 조건과 같은 표준 마르코프적 검증 기법이 비마르코프적 설정으로까지 적용될 수 있는 조건을 제공하는 것.
• 기억을 갖는 정(stationary) 가우시안 시퀀스에 의해 구동되는 이산시간 과정을 분석하여, 에르고딕성에 대한 최적의 스펙트럼 조건을 규명하는 것.

제안 방법

• 논문은 마르코프 성질이 없는 비백색 잡음을 갖는 시간 동질적(stochastic) 진화를 연구한다.
• 마르코프 과정에 사용되는 고전적 기준과 유사한 정적 해의 유일성 기준을 수립한다.
• 정적 가우시안 잡음을 갖는 이산시간 과정의 경우, 에르고딕성 기준의 적용 가능성을 보장하는 스펙트럼 측도에 대한 조건을 유도한다.
• 특정 가정 하에 스펙트럼 밀도가 만족될 경우, 에르고딕성 조건의 검증이 i.i.d. 가우시안 잡음의 경우와 유사한 성질을 확인하는 것으로 축소됨을 보여준다.
• 이 방법은 잡음의 스펙트럼 분석과 마르코프 과정 이론에서 유래한 커플링 기법의 적응에 기반한다.
• 분수 브라운 운동에 의해 구동되는 디퓨전의 이전 결과를 더 넓은 비마르코프 과정의 클래스로 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상관관계가 있는 잡음을 갖는 비마르코프 과정에 대해 정적 분포의 유일성에 대한 구성적 기준을 개발할 수 있는가?
• RQ2 비마르코프 과정의 에르고딕성이 보장되기 위한 잡음의 스펙트럼 조건은 무엇인가?
• RQ3 강한 펠러 조건과 위상적 기약성 조건과 같은 표준 마르코프적 에르고딕성 검증 기법이 비마르코프적 설정으로까지 어느 정도 적응될 수 있는가?
• RQ4 구동 잡음의 스펙트럼 밀도가 이산시간 비마르코프 과정에서의 에르고딕성 기준 적용 가능성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 기억을 갖는 정적 가우시안 시퀀스에 의해 구동되는 과정을 포함하도록 이 이론을 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 약한 스펙트럼 밀도 조건이 만족될 경우, 비마르코프 과정의 에르고딕성 기준은 마르코프 과정에 대해 i.i.d. 가우시안 잡음을 사용할 때와 동일한 방식으로 검증할 수 있음을 보였다.
• 정적 가우시안 시퀀스에 의해 구동되는 이산시간 과정의 경우, 정적 분포의 유일성이 보장되는 최적의 스펙트럼 조건이 도출되었다.
• 이전의 분수 브라운 운동에 의해 구동되는 디퓨전의 에르고딕성 결과가 더 넓은 비마르코프 과정의 클래스로 일반화되었다.
• 마르코프 성질이 성립하지 않더라도 강한 펠러 조건과 위상적 기약성 논증을 적용할 수 있는 프레임워크를 제공하였다.
• 스펙트럼 측도 조건은 잡음의 상관 구조가 유일한 불변 측도의 존재를 방해하지 않음을 보장한다.
• 마르코프 성질을 요구하지 않으며, 비마르코프 시스템에서의 에르고딕성 검증을 체계적으로 수행할 수 있는 방법을 제공한다.