[논문 리뷰] Ergodic Properties of weak Asymptotic Pseudotrajectories for Set-valued Dynamical Systems

Mathieu Faure, Grégory Roth|arXiv (Cornell University)|2011. 01. 11.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 24인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 결정론적 흐름에서 약한 점근적 가짜궤적(WAPTs)의 에르고딕 이론을 집합값 동역계(SVDS)로 일반화하며, WAPT와 관련된 경험 측도의 약한* 극한점이 SVDS에 대해 거의 확실히 불변 측도임을 증명한다. 주요 기여는 Benaïm와 Schreiber(2000)의 WAPT에 대한 결과를 미분 포함 및 기타 집합값 시스템으로 확장하여, 비연속 또는 다중값 역학에서 장기적인 통계적 행동을 분석하는 견고한 프레임워크를 구축한다.

ABSTRACT

A successful method to describe the asymptotic behavior of various deterministic and stochastic processes such as asymptotically autonomous differential equations or stochastic approximation processes is to relate it to an appropriately chosen limit semiflow. Bena\\"im and Schreiber (2000) define a general class of such stochastic processes, which they call weak asymptotic pseudotrajectories and study their ergodic behavior. In particular, they prove that the weak* limit points of the empirical measures associated to such processes are almost surely invariant for the associated deterministic semiflow. Bena\\"im, Hofbauer and Sorin (2005) generalised this approach to set-valued dynamical systems. We pursue the analogy by extending to these settings the ergodic properties of weak asymptotic pseudotrajectories.

연구 동기 및 목표

• 결정론적 흐름에서 약한 점근적 가짜궤적(WAPTs)의 에르고딕 이론을 다중값 역학을 모델링하는 집합값 동역계(SVDS)로 확장한다.
• 연속시간 SVDS에 대해 불변 및 준불변 측도를 정의하여 이산시간 및 결정론적 흐름에서의 개념을 일반화한다.
• WAPT를 따라 경험 측도의 약한* 극한점이 기저 SVDS에 대해 거의 확실히 불변임을 증명하며, Benaïm와 Schreiber(2000)의 결과를 비연속 역학으로 일반화한다.
• 확률적 보정 과정과 미분 포함에 의해 지배되는 편미분 시스템의 장기적인 통계적 행동을 분석하기 위한 이론적 기반을 제공한다.

제안 방법

• 집합값 동역계에 대한 약한 점근적 가짜궤적(WAPTs)의 엄밀한 정의를 도입하여 결정론적 흐름으로부터의 개념을 일반화한다.
• 연속시간 역학과 해 공간 위의 전이 측도 기반의 두 가지 등가 정의를 사용하여 SVDS의 불변 측도를 정의한다.
• 궤적을 따라 경험 측도 μₜ(ω) = (1/t)∫₀ᵗ δ_{X(s,ω)} ds를 적용하여 통계 수렴을 연구한다.
• 긴장성과 약한* 수렴과 같은 위상 및 측도 이론적 기법을 사용하여 경험 측도의 극한점을 분석한다.
• Miller와 Akin(1999) 및 Aubin, Frankowska, 그리고 Lasota(1991)의 결과를 활용하여 Poincaré 재입사 및 불변성을 SVDS로 확장한다.
• Fubini의 정리와 시간 이동에 따른 측도 불변성을 사용하여, WAPT를 따라 경험 측도의 임의의 약한* 극한점이 SVDS에 대해 불변 측도임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 약한 점근적 가짜궤적(WAPTs)의 에르고딕 행동은 결정론적 흐름에서 집합값 동역계(SVDS)로 확장될 수 있는가?
• RQ2 연속시간 집합값 동역계에 대해 적절한 불변 측도의 정의는 무엇인가?
• RQ3 WAPT를 따라 경험 측도의 약한* 극한점은 결정론적 경우와 마찬가지로 SVDS의 역학에 대해 여전히 불변인가?
• RQ4 준불변 개념은 SVDS 맥락에서 불변과 어떻게 관련되어 있으며, 모든 불변 측도가 준불변인가?

주요 결과

• 집합값 동역계에 대해 WAPT와 관련된 경험 측도의 약한* 극한점은 거의 확실히 그 시스템의 불변 측도이다.
• 집합값 동역계에 대해 모든 불변 측도는 준불변 측도이기도 하며, 이는 불변 개념의 계층을 확립한다.
• 주요 결과는 Benaïm와 Schreiber(2000)의 WAPT에 대한 정리가 SVDS로 일반화되었으며, 시간 진동에 따른 극한 측도의 불변성이 유지됨을 보여준다.
• 증명은 Fubini의 정리와 시간 이동에 따른 측도 불변성을 기반으로 하며, 연속 함수의 시간 적분이 극한에서 보존됨을 보여준다.
• 이 프레임워크는 평균장 흐름에 대해 WAPT를 이루는 확률적 보정 과정에 적용 가능하다.
• 경험 측도 집합의 긴장성은 거의 확실히, 과정가 시간의 대부분을 SVDS의 Birkhoff 중심의 임의의 작은 이웃 주변에서 보낸다는 것을 의미한다.