[논문 리뷰] Ergodicity and equidistribution in Hilbert geometry

Pierre-Louis Blayac, Feng Zhu|arXiv (Cornell University)|2021. 06. 15.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 57인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 패트릭-설리반 조밀도에서 유도된 유한한 설리반 측도를 갖춘 질량이 1인 적절히 볼록한 프로젝티브 다양체 또는 오비폴드 위에서 힐버트 지오데식 흐름의 에르고딕성과 등분포 결과를 확립한다. CAT(−1) 공간에서의 로블린의 프레임워크를 바탕으로, 저자들은 지오데식 흐름의 강한 혼합성과 궤도, 그리고 원시 닫힌 지오데식의 등분포를 증명하며, 경계가 C¹인 기하학적으로 유한한 엄밀히 볼록한 힐버트 기하학에서 이러한 대상의 점점 더 큰 수의 수를 세는 점근적 공식을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We show that dynamical and counting results characteristic of negatively-curved Riemannian geometry, or more generally CAT($-1$) or rank-one CAT($0$) spaces, also hold for rank-one properly convex projective structures, equipped with their Hilbert metrics, admitting finite Sullivan measures built from appropriate conformal densities. In particular, this includes geometrically finite convex projective structures. More specifically, with respect to the Sullivan measure, the Hilbert geodesic flow is strongly mixing, and orbits and primitive closed geodesics equidistribute, allowing us to asymptotically enumerate these objects.

연구 동기 및 목표

• CAT(−1) 공간에서의 로블린의 에르고딕성 및 등분포 결과를 질량이 1인 적절히 볼록한 힐버트 기하학으로 확장한다.
• 패트릭-설리반 조밀도에서 유도된 설리반 측도에 대해 힐버트 지오데식 흐름의 강한 혼합성을 확립한다.
• 경계가 C¹인 기하학적으로 유한하고 엄밀히 볼록한 힐버트 다양체에서 궤도와 원시 닫힌 지오데식의 점근적 수를 추정한다.
• 기존의 결과를 컴팩트하거나 엄밀히 볼록한 설정을 초월하여 볼록 프로젝티브 기하학에서의 등분포성 및 수를 일반화한다.

제안 방법

• 경계에서의 패트릭-설리반 조밀도를 사용하여 몫 다양체의 단위 접선다발 위에 설리반 측도를 구성한다.
• 두 개의 하이퍼볼릭 원소가 C¹로, 강하게 극단적인 고정점을 갖는다는 질량이 1인 조건을 통해, 음의 곡률과 유사한 동역학적 복잡성을 확보한다.
• 힐버트 기하학에 적합하게 수평 평면 분할과 흐름에 관여하는 측도를 사용하여, 로블린의 CAT(−1) 공간에 대한 작업 기법을 응용한다.
• 설리반 측도에 대한 지오데식 흐름의 강한 혼합성을 증명함으로써 궤도와 원시 닫힌 지오데식의 등분포를 확립한다.
• 궤도 추적과 콘 이웃을 포함한 기하학적 추정을 통해 주어진 이동 길이 내의 군 원소의 수를 유계로 제한하며, 지수 성장률을 활용한다.
• 콤���트 지지 연속 함수 위에서 등분포 결과를 적분하고 측도 정규화를 적용하여 점근적 수의 공식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 질량이 1인 적절히 볼록한 프로젝티브 다양체에서 힐버트 지오데식 흐름은 패트릭-설리반 측도에 대해 강한 혼합성을 보여주는가?
• RQ2 경계가 C¹인 비콤팩트이고 기하학적으로 유한한 볼록 프로젝티브 다양체에서 궤도와 원시 닫힌 지오데식의 등분포가 가능할 수 있는가?
• RQ3 패트릭-설리반 조밀도와 관련된 설리반 측도는 CAT(−1)이 아닌 힐버트 기하학에서 등분포성 및 수의 타당한 프레임워크를 제공할 수 있는가?
• RQ4 기하학적으로 유한하고 엄밀히 볼록한 힐버트 다양체에서 원시 닫힌 지오데식의 수의 점근적 성장률은 어떻게 되는가?

주요 결과

• 패트릭-설리반 조밀도에서 유도된 설리반 측도에 대해 힐버트 지오데식 흐름은 강한 혼합성을 갖는다.
• 설리반 측도에 대해 지오데식 흐름 하에서 궤도는 볼록 프로젝티브 다양체의 단위 접선다량에서 등분포된다.
• 원시 닫힌 지오데식은 단위 접선다량에서 등분포되며, 이동 길이가 T 이하인 이러한 지오데식의 수는 T → ∞ 일 때 점점 더 e^{δT}/(δT) 로 점근적으로 증가한다.
• 기하학적으로 유한하고 기하학적으로 기약적이며 엄밀히 볼록한 힐버트 다양체에서 이동 길이 ≤ T 인 원시 닫힌 지오데식의 수에 대해 #[Γ]_T^{pr1} ∼ e^{-δT}/(δT) 의 점근적 공식이 성립한다.
• 비자명한 정 stabilizer(핵심 고정 부분군)와 관련된 주기 궤도의 집합은 총 수에 비해 기하급수적으로 감소하므로 무시할 수 있다.
• 증명은 콘 이웃를 통한 궤도 추적의 기하학적 제어와 측도 추정에 기반하여, 주어진 이동 길이 내의 군 원소의 수에 대한 균일한 상한을 이끌어낸다.