[논문 리뷰] Ergodicity of group actions and spectral gap, applications to random walks and Markov shifts

Jean-Pierre Conze, Yves Guivarc’h|arXiv (Cornell University)|2011. 06. 16.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 36인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 다이나믹 시스템의 군 확장, 특히 닐만이폴드, 동차 공간, 운동 군에서의 랜덤 워크와 관련된 마코프 연산자에 대한 스펙트럴 갭 성질을 수립한다. 에르고딕성과 군의 성질 (T) 또는 조밀도 조건 하에서 스펙트럴 갭을 증명함으로써, 비콤팩트 확장에 대한 강력한 에르고딕성, 재진입/비재진입 결과 및 국소 극한 정리들을 도출하며, 고전적 랜덤 워크 이론을 구조화된 대수적 환경으로 확장한다.

ABSTRACT

Let $(X, \\cal B, \ u)$ be a probability space and let $\\Gamma$ be a countable group of $\ u$-preserving invertible maps of $X$ into itself. To a probability measure $\\mu$ on $\\Gamma$ corresponds a random walk on $X$ with Markov operator $P$ given by $P\\psi(x) = \\sum_{a} \\psi(ax) \\, \\mu(a)$. A powerful tool is the spectral gap property for the operator $P$ when it holds. We consider various examples of ergodic $\\Gamma$-actions and random walks and their extensions by a vector space: groups of automorphisms or affine transformations on compact nilmanifolds, random walk in random scenery on non amenable groups, translations on homogeneous spaces of simple Lie groups, random walks on motion groups. The spectral gap property is applied to obtain limit theorems, recurrence/transience property and ergodicity for random walks on non compact extensions of the corresponding dynamical systems.

연구 동기 및 목표

• 콤팩트 닐만이폴드와 동차 공간에서 군 작용에 관련된 마코프 연산자에 대한 스펙트럴 갭 성질을 수립하기 위해.
• 스펙트럴 갭을 통해 다이나믹 시스템의 비콤팩트 확장으로의 에르고딕성 및 재진입 결과를 확장하기 위해.
• 랜덤 워크 모델에서의 국소 극한 정리 및 궤도 균등분포의 타당성을 조사하기 위해.
• 일반화된 마코프 모델에서의 불변 방정식 $ \tilde{\mu}*f = f $ 의 유계해를 분석하기 위해.
• 고전적 랜덤 워크 결과를 상태에 의존하는 전이 확률과 길버스 측도를 갖는 모델로 일반화하기 위해.

제안 방법

• 스펙트럴 갭 성질은 마코프 연산자 $ P $ 를 $ L_0^2(X,\nu) $ 에 제한한 경우의 스펙트럼 반경 $ r(\Pi_0) < 1 $ 으로 정의되며, 이는 강력한 에르고딕성을 보장한다.
• 논문은 유니터리 표현과 항등원 표현의 약한 포함을 사용하여 $ r(\Pi_0) < 1 $ 가 성립하는 조건을 특성화하며, 이를 군 작용의 성질 (T) 또는 조밀도와 연결한다.
• 니르만이폴드의 경우, 군의 구조와 불변 측도를 통해 마코프 연산자의 에르고딕성은 최대 토러스 몫 위에서의 작용의 에르고딕성으로 감소된다.
• 단순 리군의 동차 공간에서는 $ SU(d) $ 의 작용과 $ \Gamma \subset SU(d) $ 의 조밀도를 이용하여 스펙트럴 갭을 확립하며, 애파인 확장을 위한 코호몰로지 분석을 수행한다.
• 논문은 이동의 $ L^2 $-연속성과 측도 가능 코호몰로지 항등식을 사용하여 특성의 불변성과 자명성을 증명하고, 이를 통해 스펙트럴 갭을 도출한다.
• 랜덤 스카이니 및 운동 군에서의 랜덤 워크의 경우, 스펙트럴 갭을 이용해 비콤팩트 확장으로의 프레임워크를 확장하고, 극한 정리와 궤도 행동을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비콤팩트 확장이 존재할 때, $ m \geq 3 $ 인 $ \mathbb{Z}^m $ 에서의 랜덤 스카이니에서의 국소 극한 정리는 성립하는가?
• RQ2 운동 군 $ SU(d) \ltimes \mathbb{C}^d $ 에서, $ \Gamma \subset SU(d) $ 가 조밀하고 $ d \geq 2 $ 일 때, 국소 극한 정리는 유효한가?
• RQ3 비콤팩트 확장에서, 벡터 공간 $ V $ 상에서 $ \tilde{\Gamma} $-궤도의 균등분포 행동은 어떠한가?
• RQ4 $ G = SU(d) \ltimes \mathbb{C}^d $ 에서 $ f \in L^\infty(\nu \otimes \ell) $ 인 경우, 불변 방정식 $ \tilde{\mu}*f = f $ 의 유계해는 무엇인가?
• RQ5 스펙트럴 갭 결과는 전이 확률이 상태에 의존하는 마코프 모델 $ \mu(x,a) $ 또는 곱 측도 대신 길버스 측도를 갖는 경우로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 스펙트럴 갭 성질은 강력한 에르고딕성을 암시하며, 군 $ \Gamma $ 가 $ L_0^2(X,\nu) $ 에서의 유니터리 표현에서 항등원 표현의 약한 포함이 아님과 동치이다.
• 니르만이폴드의 경우, 적절한 군 작용 하에서 마코프 연산자 $ P $ 의 에르고딕성은 최대 토러스 몫 위에서의 작용의 에르고딕성에 의해 유도된다.
• 군 $ \Gamma \subset SU(d) $ 가 조밀하고 성질 (T) 를 갖는 경우, 애파인 확장 $ \tilde{\Gamma} \subset SU(d) \ltimes \mathbb{C}^d $ 는 $ \tilde{\Gamma} \cap \mathbb{C}^d $ 가 $ \mathbb{C}^d $ 에 조밀하게 되어 있어 스펙트럴 갭이 보장된다.
• 자유군 $ \Gamma $ 의 경우, $ \tilde{\Gamma} \cap \mathbb{C}^d = \{0\} $ 이지만, $ \tilde{\Gamma} $ 는 여전히 $ G $ 에 조밀하게 존재하므로 스펙트럴 갭과 에르고딕성이 유지된다.
• 스펙트럴 갭은 비콤팩트 확장에서의 랜덤 워크에 대한 재진입/비재진입 결과를 암시하며, 수렴 속도는 스펙트럴 갭의 크기에 의해 결정된다.
• 스펙트럴 갭이 존재할 경우, 군 작용과 $ \mu $ 의 지지에 대한 조건 하에서 $ \mathbb{Z}^m $-확장에서의 랜덤 워크에 대해 국소 극한 정리가 성립한다.