[논문 리뷰] Ergodicity of Mapping Class Group Actions on SU(2)-character varieties

William M. Goldman, Eugene Z. Xia|arXiv (Cornell University)|2009. 01. 11.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 18인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 경계를 가진 컴acts orientable 곡면의 SU(2)-character variety 위에서 매핑 클래스 군 작용의 에르고딕성을 심플렉틱 기하학적 방법으로 새롭게 증명한다. 단순 폐곡선의 추적 함수와 관련된 해밀턴 흐름과 S¹ 위의 무리수 회전의 에르고딕성에 기반하여, 매핑 클래스 군에 관하여 불변인 임의의 가측 함수는 거의 어디서나 상수여야 하며, 이는 기약 표현의 매끄럽고 심플렉틱이며 임의의 열린 밀도 부분집합 위에서 에르고딕성을 확립한다.

ABSTRACT

Let S be a compact orientable surface with genus g and n boundary components d_1,...,d_n. Let b = (b_1, ..., b_n) where b_n lies in [-2,2]. Then the mapping class group of S acts on the relative SU(2)-character variety X comprising conjugacy classes of representations f of the fundamental group F of S, where trace f(d_i) = b_i. This action preserves a symplectic structure on the open dense smooth submanifold of X. corresponding to irreducible representations. This subset has full measure and is connected. In this note we use the symplectic geometry of this space to give a new proof that this action is ergodic.

연구 동기 및 목표

• 매핑 클래스 군 작용의 에르고딕성을 새로운, 간결한 증명으로 제시하는 것.
• 심플렉틱 구조와 단순 폐곡선의 추적 함수와 관련된 해밀턴 흐름을 이용하여 에르고딕성을 확립하는 것.
• 데인 트위스트에 대한 불변성은 생성된 흐름 군의 전이성에 의해 전체 매핑 클래스 군에 대한 불변성으로 이어진다는 것을 보여주는 것.
• 기약 표현의 매끄럽고 심플렉틱이며 측도가 전체인 부분집합 위에서 작용이 에르고딕하다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• 기약 SU(2)-표현의 열린 밀도 부분다양체 위의 심플렉틱 구조를 활용한다.
• 단순 폐곡선 α에 대해 fα(ρ) = tr(ρ(α))로 주어진 추적 함수와 관련된 해밀턴 벡터장 적용.
• 데인 트위스트가 추적으로 정의된 매개변수 s(ρ(α))를 통해 이 해밀턴 벡터장의 시간-1 흐름과 대응됨을 이용한다.
• S¹ 위의 무리수 회전의 에르고딕성을 활용하여 각 데인 트위스트의 작용이 거의 어디서나 에르고딕하다는 것을 보인다.
• 궤도 분할의 측도 분해를 통해 생성된 흐름 군의 거의 모든 궤도를 따라 불변 함수는 상수여야 한다는 것을 보인다.
• 트위스트 흐름이 생성하는 군의 전이성(보조정리 3.4)을 적용하여, 임의의 불변 가측 함수가 거의 어디서나 상수임을 결론내린다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매핑 클래스 군 작용이 SU(2)-character variety 위에서 심플렉틱 구조를 보존하는가? 만약 그렇다면 어느 부분집합에서인가?
• RQ2 심플렉틱 기하학과 해밀턴 흐름을 이용하여 매핑 클래스 군 작용의 에르고딕성을 증명할 수 있는가?
• RQ3 단순 폐곡선의 추적 함수는 군 작용에 관하여 불변인 대수를 어떻게 생성하는가?
• RQ4 S¹ 위의 무리수 회전의 에르고딕성은 기하학적 특성에 대한 데인 트위스트 작용의 에르고딕성과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 트위스트 흐름이 생성하는 군의 작용은 기하학적 특성의 매끄럽고 심플렉틱한 위치에서 전이적인가?

주요 결과

• 매핑 클래스 군은 SU(2)-character variety의 각 연결 성분에 대해 심플렉틱 측도에 관하여 에르고딕하게 작용한다.
• 기약 표현의 열린 밀도 부분집합에서 작용은 심플렉틱 구조를 보존하며, 이 부분집합은 측도가 전체이고 연결되어 있다.
• 단순 폐곡선에 沿해 데인 트위스트는 추적 함수 fα와 관련된 해밀턴 벡터장의 시간-1 흐름과 대응된다.
• 팬츠 분해에 관련된 추적 함수의 해밀턴 흐름이 생성하는 군은 매끄럽고 심플렉틱한 위치에서 전이적이다.
• 전체 매핑 클래스 군에 관하여 불변인 임의의 가측 함수는 흐름 군의 전이성과 각 데인 트위스트의 에르고딕성으로 인해 거의 어디서나 상수여야 한다.
• 이 증명은 추적 매개변수화를 통해 S¹ 위의 무리수 회전의 에르고딕성을 적용함으로써 에르고딕성을 확립한다.