[논문 리뷰] Ergodicity of stochastic differential equations with jumps and singular coefficients

Longjie Xie, Xicheng Zhang|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 21.

Stochastic processes and financial applications인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 일반 레비 소음에 의해 구동되는 점프를 가진 확률미분방정식(SDEs)에 대해 강한 잘 정의됨, 강한 페러셀 성질, 기약성, 지수적 에르고딕성을 확립한다. 크릴로프의 사전 추정과 증명의 변환을 기반으로 하는 일반적인 접근법을 개발함으로써, 저자들은 비정상적인 계수와 함께 해의 존재성과 유일성을 증명하고, 소용돌이가 크고 비정상적인 확산 계수를 가진 경우에도 에르고딕성을 확보한다.

ABSTRACT

We show the strong well-posedness of SDEs driven by general multiplicative Lévy noises with Sobolev diffusion and jump coefficients and integrable drift. Moreover, we also study the strong Feller property, irreducibility as well as the exponential ergodicity of the corresponding semigroup when the coefficients are time-independent and singular dissipative. In particular, the large jump is allowed in the equation. To achieve our main results, we present a general approach for treating the SDEs with jumps and singular coefficients so that one just needs to focus on Krylov's {\it apriori} estimates for SDEs.

연구 동기 및 목표

• 다양한 레비 소음, 비정상적인 확산, 점프, 적분 가능한 드리프트 계수를 가진 SDEs의 강한 잘 정의됨을 확립하기 위해.
• 관련된 마코프 반군의 강한 페러셀 성질과 기약성을 조사하기 위해.
• 비정상적인 소산성 드리프트와 일반 레비 소음을 가진 시간 동질적 SDEs의 지수적 에르고딕성을 증명하기 위해.
• 점프와 비정상 계수를 가진 SDEs를 다루기 위한 일반적인 프레임워크를 개발하여 분석을 크릴로프의 사전 추정으로 환원하기 위해.
• 레비 소음의 큰 점프를 允許하여, 작은 점프 또는 비특이성 확산 가정을 초월한 결과를 확장하기 위해.

제안 방법

• 점프와 비정상 계수를 가진 SDEs의 분석을 크릴로프 유형의 사전 추정을 위한 반마르팅글의 유도로 환원하는 일반적인 접근법을 개발하였다.
• 비정상 계수의 존재하에서 크릴로프 추정을 적용할 수 있도록, 증명의 변환을 적용하여 SDE를 정규화하였다.
• 크릴로프의 사전 추정을 일반적인 비연속 반마르팅글, 특히 점프 성분과 비정상 드리프트를 포함한 경우로 확장하였다.
• 분석은 마코프 성질을 유지하면서 히트 커널 추정에 적용 가능한 적절한 변환을 구성하는 데 의존한다.
• 전이 밀도를 제어하기 위해 파라볼릭 적분미분방정식과 그 정규성 성질을 사용하였다.
• 에르고딕성의 증명은 비교 추정과 전이 밀도에 대한 헌트 유형 정리에 의해 확립된 딜리클레 히트 커널의 양성에 기반한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 점프와 비정상 계수를 가진 확률미분방정식이 유일한 강한 해를 갖기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 비정상 소산성 드리프트와 일반 레비 소음을 가진 SDEs의 강한 페러셀 성질과 기약성을 확보할 수 있는가?
• RQ3 소음에 큰 점프가 포함된 비정상적이고 소산성 드리프트를 가진 SDEs에서 지수적 에르고딕성이 달성 가능한가?
• RQ4 크릴로프의 사전 추정은 일반 레비 과정에 의해 구동되며 비정상 계수를 가진 SDEs로 어떻게 확장될 수 있는가?
• RQ5 이러한 SDEs에 대해 딜리클레 히트 커널의 양성은 어떤 조건에서 보장되는가?

주요 결과

• 스옵레보프 공간에서 비정상적인 확산, 적분 가능한 드리프트를 가진 다중 레비 소음 SDE는 온건한 조건 하에서 유일한 강한 해를 가진다.
• 계수가 시간에 독립적이고 비정상 소산성일 경우, 관련된 마코프 반군은 강한 페러셀 성질과 기약성을 갖는다.
• 큰 점프를 허용하는 비정상 소산성 드리프트를 가진 SDEs에 대해 지수적 에르고딕성이 확립된다.
• 불변 측도는 $ L^q({\mathbb{R}}^d) $ 에서 밀도를 가지며, $ q < d/(d - \alpha + 1) $ 를 만족한다. 여기서 $ \alpha $ 는 비정상 드리프트의 지수이다.
• 모든 도메인 $ D \subset \mathbb{R}^d $ 에 대해, 딜리클레 히트 커널은 $ (0,\infty) \times D \times D $ 에서 엄격히 양수이며, 이는 기약성을 보장한다.
• 주요 결과는 문제를 크릴로프의 사전 추정으로 환원하고, SDE를 정규화하기 위해 증명의 변환을 적용함으로써 달성된다.