[논문 리뷰] Erland Samuel Bring's "Transformation of Algebraic Equations"

Alexander Chen, Yang‐Hui He외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 25.

History and Theory of Mathematics인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 1786년에 에를란트 샘울 브링이 작성한 대수방정식 변환에 관한 고전적 논문을 번역하고 분석한다. 이를 통해 그가 Tschirnhaus 변환을 사용하여 일반 5차방정식을 $x^5 + px + q = 0$ 형태인 브링-저라드 표준형으로 단순화했음을 보여주며, 이 과정에서 오직 3차 방정식만을 풀었다. 주요 기여는 $mathbb{P}^4$에서의 완전교차로써 브링 곡선을 조기에 발견한 것으로, 이후에 종수 4인 곡선이며 $S_5$ 대칭성을 지닌 것으로 밝혀졌으며, 타원함수와 모듈러 함수를 통한 5차방정식의 해법에 기초가 되었다.

ABSTRACT

We translate Erland Samuel Bring's treatise Meletemata quaedam Mathematica circa Transformationem Aequationum Alebraicarum (Some selected mathematics on the Transformation of Algebraic Equations) written as his Promotionschrift at the University of Lund in 1786, from its Latin into English, with modern mathematical notation. Bring (1736 - 98) made important contributions to algebraic equations and obtained the canonical form x^5+px+q = 0 for quintics before Jerrard, Ruffini and Abel. In due course, he realized the significance of the projective curve which now bears his name: the complete intersection of the homogeneous Fermat polynomials of degrees 1,2,3 in CP^4.

연구 동기 및 목표

• 1786년의 원본 라틴어 논문인 에를란트 샘울 브링의 대수방정식 변환에 관한 논문을 현대 영어로 번역하고, 현대 수학적 기호 체계로 재구성한다.
• 브링이 18세기 수학의 한계 속에서도 Jerrard, Ruffini, 아벨 이전에 오직 3차 잔여방정식만을 사용하여 일반 5차방정식을 $x^5 + px + q = 0$ 형태의 삼항식으로 단순화한 데서 유래된 혁신적 사고를 부각한다.
• $\mathbb{P}^4$에서 $\sum z_i = \sum z_i^2 = \sum z_i^3 = 0$로 정의된 대수곡선이 브링-저라드 5차방정식의 매개변수 공간으로서의 중요성을 규명한다. 이 곡선은 오늘날 브링의 곡선으로 알려져 있다.
• 브링이 18세기 수학의 한계 속에서도 모든 방정식을 대수적 변환을 통해 해법 가능 형태로 변환할 수 있다는 그의 간과당한 깊이 있는 통찰을 복원하고 강조한다.

제안 방법

• 일반 5차방정식 $x^5 + ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$에서 중간항을 제거하기 위해 4차 보조방정식을 도입하여 Tschirnhaus 변환을 적용한다.
• 대칭다항식과 빈티의 공식을 사용하여 기본 대칭합 $\sum z_i = \sum z_i z_j = \sum z_i z_j z_k = 0$의 소멸 조건을 유도함으로써 $\sum z_i = \sum z_i^2 = \sum z_i^3 = 0$ 조건을 도출한다.
• 보조 4차방정식의 계수 $a, b, c, d$를 구하기 위해 변환된 5차방정식의 두 번째, 세 번째, 네 번째 항을 제거하는 데 쓰이는 방정식계(D, E, F)를 유도한다.
• 계수 방정식계에 $a = \frac{3pd + 4q}{5}$를 대입하여 $\gamma$와 $\zeta$에 대한 이차방정식으로 단순화함으로써 고차수 루트를 사용하지 않고도 해를 구할 수 있도록 한다.
• 대체로 $b = \alpha d + \zeta$, $c = d + \gamma$를 도입하여 방정식계를 이차방정식으로 단순화함으로써 세 번째 항의 제거를 가능하게 한다.
• 마지막으로 네 번째 항을 제거하기 위해 $d$를 삼차방정식의 근으로 구함으로써 브링-저라드 표준형으로의 완전한 단순화를 완료한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 에를란트 샘울 브링은 오직 3차 잔여방정식만을 사용하여 어떻게 일반 5차방정식을 $x^5 + px + q = 0$ 형태의 삼항식으로 단순화했는가?
• RQ2 $\mathbb{P}^4$에서 $\sum z_i = \sum z_i^2 = \sum z_i^3 = 0$로 정의된 곡선의 대수적·기하학적 의미는 무엇이며, 왜 오늘날 브링의 곡선으로 불리는가?
• RQ3 왜 브링의 작업은 오랫동안 간과되었으며, 그는 나중에 발전한 갈루아 이론과 모듈러 함수 이론의 핵심 개념을 어떻게 예견했는가?
• RQ4 Tschirnhaus 변환은 3차 이상의 방정식을 풀지 않고도 5차방정식의 여러 중간항을 어떻게 제거할 수 있는가?
• RQ5 대칭군 $S_5$는 브링의 곡선의 구조에서 어떤 역할을 하며, 왜 종수 4 곡선의 최대 가능 자동형군인가?

주요 결과

• 브링은 Jerrard와 아벨이 등장하기보다 100년 이상 앞서 오직 3차 잔여방정식만을 사용하여 일반 5차방정식을 브링-저라드 표준형 $x^5 + px + q = 0$으로 단순화했다.
• $\mathbb{P}^4$에서 $\sum z_i = \sum z_i^2 = \sum z_i^3 = 0$로 정의된 곡선은 종수 4인 완전교차곡선이며, 오늘날 브링의 곡선으로 알려져 있으며 자동형군으로 $S_5$를 가진다.
• 5차방정식의 근들의 대칭합이 변환 조건을 만족함으로써 $\sum z_i = \sum z_i^2 = \sum z_i^3 = 0$ 조건이 유도되며, 이 조건이 곡선을 정의한다.
• 이 방법은 이차방정식과 삼차방정식을 풀어 세 중간항을 제거함으로써, 브링-저라드 표준형이 순수 대수적 변환만으로도 도달 가능하다는 것을 증명한다.
• 제4절에서의 브링의 낙관적 주장 — 어떤 방정식이라도 변환을 통해 해법 가능할 수 있다 — 는 뒤이은 헤르미테와 클라인의 연구를 통해 5차방정식과 모듈러 함수 사이의 깊은 연관성이 확인됨으로써 예리한 통찰이었다.
• 본 논문은 브링의 작업이 초기에는 학생의 업적이라 오해되었지만, 실제로는 대수방정식 이론과 매개변수 공간 기하학의 기초적인 기여였음을 규명한다.