[논문 리뷰] Error Analysis of Finite Element Methods for Space-Fractional Parabolic Equations

Bangti Jin, Raytcho Lazarov외 2명|arXiv (Cornell University)|2013. 09. 30.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 17인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 Riemann-Liouville 도함수의 차수 $\alpha \in (1,2)$를 갖는 일차원 공간 분수형 포아송 방정식에 유한요소법을 적용한 엄밀한 오차 분석을 제시한다. 일차 보간 함수를 사용하는 갈레르킨 유한요소법과 후진 오일러/크랭크-니콜슨 시간 이산화를 적용하여, $L^2(D)$ 및 $\widetilde{H}^{\alpha/2}(D)$ 노름에서 최적 수렴 속도를 도출하였으며, 초기 자료의 정규성에 직접적으로 의존하는 경계를 제공하여 부드럽고 부드럽지 않은 경우를 모두 다루었다.

ABSTRACT

We consider an initial/boundary value problem for one-dimensional fractional-order parabolic equations with a space fractional derivative of Riemann-Liouville type and order $α\in (1,2)$. We study a spatial semidiscrete scheme with the standard Galerkin finite element method with piecewise linear finite elements, as well as fully discrete schemes based on the backward Euler method and Crank-Nicolson method. Error estimates in the $L^2\II$- and $H^{α/2}\II$-norm are derived for the semidiscrete scheme, and in the $L^2\II$-norm for the fully discrete schemes. These estimates are for both smooth and nonsmooth initial data, and are expressed directly in terms of the smoothness of the initial data. Extensive numerical results are presented to illustrate the theoretical results.

연구 동기 및 목표

• 공간 분수형 포아송 방정식에 대해 $\alpha \in (1,2)$인 경우의 공간 반연속 및 완전 이산 유한요소 계획에 대해 사전 오차 추정을 수립하기 위해.
• 부드럽고 부드럽지 않은 초기 자료 조건 하에서 갈레르킨 유한요소법의 수렴 행동을 분석하기 위해.
• 초기 자료의 정규성에 직접적으로 기반한 오차 경계를 도출하기 위해, 특히 $l=0,1$에 대해 연산자 $A^l v$를 사용하기 위해.
• 광범위한 수치 실험을 통해 이론적 결과를 검증하기 위해.

제안 방법

• 균일 메쉬 위에서 일차 선형 요소를 사용하는 표준 갈레르킨 유한요소법을 적용한 공간 반연속 계획을 수립하였다.
• 시간 적분을 위해 후진 오일러 및 크랭크-니콜슨 방법을 사용하여 완전 이산 계획을 구성하였다.
• 해의 정규성과 오차 전파를 분석하기 위해 해석 반군 이론을 활용하였다.
• 변분 설정은 분수형 소볼레프 공간 $\widetilde{H}^{\alpha/2}(D)$ 및 관련 이차형식 $A(\cdot,\cdot)$에 기반한다.
• 에너지 방법과 쌍대성 추론을 통해 이산 프로젝션의 강력성과 안정성을 활용하여 오차 추정을 유도하였다.
• 이산 반군 $E_h(t)$를 분석하여 반연속 해의 진화를 특성화하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 부드럽지 않은 초기 자료를 갖는 공간 분수형 포아송 방정식에 대해 반연속 유한요소법의 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ2 초기 자료 $v$의 정규성에 따라 오차 경계는 $L^2(D)$ 및 $\widetilde{H}^{\alpha/2}(D)$ 노름에서 어떻게 달라지는가?
• RQ3 후진 오일러 및 크랭크-니콜슨 시간 스텝을 사용하는 완전 이산 계획에서 $L^2(D)$-노름에서 최적 수렴 속도를 달성할 수 있는가?
• RQ4 초기 자료 $v$가 부드럽지 않을 경우 연산자 $A^l v$는 오차를 정량화하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 실제로 이론적 오차 추정과 수치 결과는 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 반연속 유한요소 해는 $\beta \in [0,1/2)$ 및 $l=0,1$에 대해 다음 오차 경계를 만족한다: $\|u_h(t)-u(t)\|_{L^2(D)} + h^{\alpha/2 - 1 + \beta}\|u_h(t)-u(t)\|_{\widetilde{H}^{\alpha/2}(D)} \leq C h^{\alpha - 2 + 2\beta} t^{l-1} \|A^l v\|_{L^2(D)}$.
• 후진 오일러 완전 이산 계획의 경우, $L^2(D)$-노름에서의 오차는 $C(h^{\alpha - 2 + 2\beta} + \tau) t^{l-1} \|A^l v\|_{L^2(D)}$ 이하로 경계된다.
• 크랭크-니콜슨 완전 이산 계획의 경우, $L^2(D)$-노름에서의 오차는 $C(h^{\alpha - 2 + 2\beta} + \tau^2 t_n^{-1}) t^{l-1} \|A^l v\|_{L^2(D)}$ 이하로 경계된다.
• 해는 향상된 정규성을 보이며, $v \in L^2(D)$ 이면 $u \in C((0,T]; \widetilde{H}_L^{\alpha - 1 + \beta}(D))$ for $\beta \in [0,1/2)$.
• 오차 추정은 부드럽고 부드럽지 않은 초기 자료 모두에 대해 유효하며, $\|A^l v\|_{L^2(D)}$에 명시적인 의존성을 갖는다.
• 수치 결과는 이론적 수렴 속도를 확인하였으며, $\alpha \in (1,2)$에 대해 $h$에 대한 최적 순서가 달성됨을 보여주었다.