[논문 리뷰] Error Bounds for Parametric Polynomial Systems with Applications to Higher-Order Stability Analysis and Convergence Rates

G. Li, Boris S. Mordukhovich외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 12.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 24인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 변량 파arameter 집합을 가진 매개변수 다항계열에 대해 변동분석과 준대수기하학 도구를 활용하여 무한한, 변수가 되는 매개변수 집합을 갖는 다항계열에 대해 명시적인 고차수(Hölder형) 오차 경계를 수립한다. 이는 Łojasiewicz 기울기 부등식을 초과 marginal 함수로 확장하고, 다항식 데이터 하에 최적화 알고리즘과 하향기울기 동역계에 대해 명시적으로 계산 가능한 수렴 속도를 도출하며, 일반화된 준무한계획 및 이차원뿔계획에 응용된다.

ABSTRACT

The paper addresses parametric inequality systems described by polynomial functions in finite dimensions, where state-dependent infinite parameter sets are given by finitely many polynomial inequalities and equalities. Such systems can be viewed, in particular, as solution sets to problems of generalized semi-infinite programming with polynomial data. Exploiting the imposed polynomial structure together with powerful tools of variational analysis and semialgebraic geometry, we establish a far-going extension of the Łojasiewicz gradient inequality to the general nonsmooth class of supremum marginal functions as well as higher-order (Hölder type) local error bounds results with explicitly calculated exponents. The obtained results are applied to higher-order quantitative stability analysis for various classes of optimization problems including generalized semi-infinite programming with polynomial data, optimization of real polynomials under polynomial matrix inequality constraints, and polynomial second-order cone programming. Other applications provide explicit convergence rate estimates for the cyclic projection algorithm to find common points of convex sets described by matrix polynomial inequalities and for the asymptotic convergence of trajectories of subgradient dynamical systems in semialgebraic settings.

연구 동기 및 목표

• 무한하고 변수가 되는 매개변수 집합을 갖는 매개변수 다항부등식계열에 대해 Hölder형 지수를 갖는 명시적인 국소 오차 경계를 수립하기 위해.
• 다항계열에서 발생하는 비연속성 클래스의 초과 marginal 함수에 대해 Łojasiewicz 기울기 부등식을 확장하기 위해.
• 다항식 데이터를 갖는 최적화 문제에 대해 양적 고차수 안정성 분석을 제공하기 위해, 일반화된 준무한계획 및 이차원뿔계획 포함.
• 준대수기하 설정에서 순환 투영 알고리즘과 하향기울기 동역계에 대해 명시적인 수렴 속도 추정치를 도출하기 위해.
• 새로운 오차 경계 기법을 통해 비볼록 다항식 최적화에서 수렴 속도에 대한 열린 질문을 해결하기 위해.

제안 방법

• 유한 개의 다항부등식과 등식으로 정의된 매개변수 다항계열을 분석하기 위해 준대수기하학과 변동분석을 활용한다.
• 일반화된 미분과 준대수집합 이론의 고급 도구를 적용하여 초과 marginal 함수의 오차 경계를 유도한다.
• 매개변수 집합의 컴팩트성과 다항식의 구조를 이용하여 비연속성, 초과형 함수로의 Łojasiewicz 부등식의 광범위한 확장을 수립한다.
• 변수의 수, 다항식의 차수, 매개변수 집합의 차원으로부터 계산 가능한 지수를 갖는 명시적 Hölder형 오차 경계를 도출한다.
• 오차 경계 결과를 활용하여 행렬 다항식 부등식으로 정의된 볼록집합의 공통점 찾기 위해 순환 투영 알고리즘의 수렴성을 분석한다.
• 확장된 Łojasiewicz 부등식과 궤적 분석을 사용하여 준대수기하 목표 함수를 갖는 하향기울기 동역계의 명시적 점근 수렴 속도를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한하고 변수가 되는 매개변수 집합을 갖는 매개변수 다항계열에 대해 명시적인 Hölder형 오차 경계를 수립할 수 있는가?
• RQ2 다항식 최적화에서 발생하는 비연속성 초과 marginal 함수로의 Łojasiewicz 기울기 부등식을 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ3 행렬 다항식 부등식으로 정의된 볼록집합에 대해 순환 투영 알고리즘이 적용되었을 때의 명시적 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ4 준대수기하 목표 함수를 갖는 하향기울기 동역계의 궤적의 점근 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ5 일반화된 준무한계획과 다항식 이차원뿔계획에 대해 명시적인 고차수 안정성 추정치를 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 초과 marginal 함수로의 Łojasiewicz 기울기 부등식의 새로운 확장을 수립하여, 비연속적 설정에서 오차 경계 분석을 가능하게 한다.
• 변수의 수, 다항식의 차수, 매개변수 공간의 차원으로부터 계산 가능한 지수를 갖는 명시적 Hölder형 오차 경계가 도출된다.
• 다항식 데이터를 갖는 일반화된 준무한계획에 대해, 정량화된 수렴 속도를 갖는 명시적 고차수 안정성 추정치가 제공된다.
• 행렬 다항식 부등식으로 정의된 볼록집합의 공통점을 찾기 위한 순환 투영 알고리즘은 $ t^{-rac{1}{2 heta-1}} $ 의 속도로 수렴하며, 여기서 $ heta = 1 - au $ 이고, $ au $ 는 명시적으로 결정된다.
• 준대수기하 목표 함수를 갖는 하향기울기 동역계는 명시적 수렴 속도 $ \|x(t) - \bar{x}\| \leq c(t+1)^{-(1-\theta)/(2\theta-1)} $ 를 갖는다. 여기서 $ \theta $ 는 문제의 다항식 데이터로부터 계산 가능하다.
• 수렴 속도 추정치는 명시적이며, 변수의 수, 제약 조건의 수, 그리고 관련된 다항식의 최대 차수에만 의존한다.