[논문 리뷰] Error correction schemes for fully correlated quantum channels protecting both quantum and classical information

Chi-Kwong Li, Seth Lyles외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 24.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 14인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 최소한의 CNOT 게이트를 사용하여 양자 및 고전 정보를 모두 보호하는 완전히 상관된 양자 채널을 위한 효율적인 양자 오류 수정 기법을 제안한다. 홀수 n=2k+1인 경우, 한 큐비트는 3k개의 CNOT 게이트를 사용하여 데이터를 인코딩한다; 짝수 n=2k+2인 경우, 두 개의 고전 비트 스킴은 3k+2개의 CNOT과 한 개의 하다르드 게이트를 사용하며, 역인코딩과 부분 추적을 통해 복구가 가능하다. 이는 Qiskit 및 IBM 양자 하드웨어에서 검증된 구현을 포함한다.

ABSTRACT

We study efficient quantum error correction schemes for the fully correlated channel on an $n$-qubit system with error operators that assume the form $σ_x^{\otimes n}$, $σ_y^{\otimes n}$, $σ_z^{\otimes n}$. Previous schemes are improved to facilitate implementation. In particular, when $n$ is odd and equals $2k+1$, we describe a quantum error correction scheme using one arbitrary qubit $σ$ to protect the data state $ρ$ in a $2k$-qubit system. The encoding operation $σ\otimes ρ\mapsto Φ(σ\otimes ρ)$ only requires $3k$ CNOT gates (each with one control bit and one target bit). After the encoded state $Φ(σ\otimes ρ)$ goes through the channel, we can apply the inverse operation $Φ^{-1}$ to produce $ ilde σ\otimes ρ$ so that a partial trace operation can recover $ρ$. When $n$ is even and equals $2k+2$, we describe a hybrid quantum error correction scheme using any one of the two classical bits $σ\in \{|ij angle \langle ij|: i, j \in \{0,1\}\}$ to protect a $2k$-qubit state $ρ$ and 2 classical bits. The encoding operation $σ\otimes ρ\mapsto Φ(σ\otimes ρ)$ can be done by $3k+2$ CNOT gates and a single quibt Hadamard gate. After the encoded state $Φ(σ\otimes ρ)$ goes through the channel, we can apply the inverse operation $Φ^{-1}$ to produce $σ\otimes ρ$ so that a perfect protection of the two classical bits $σ$ and the $2k$-qubit state is achieved. If one uses an arbitrary $2$-qubit state $σ$, the same scheme will protect $2k$-qubit states. The scheme was implemented using Matlab, Mathematica, Python, and the IBM's quantum computing framework qiskit.

연구 동기 및 목표

• 완전히 상관된 양자 채널에 대한 효율적인 양자 오류 수정 기법을 개발하여 양자 및 고전 정보를 모두 보호한다.
• 특히 CNOT 게이트의 수를 최소화함으로써 이러한 채널에서 인코딩 및 디코딩에 필요한 양자 게이트의 수를 줄인다.
• 유니터리 변환과 부분 추적 복구를 사용하여 인코딩 및 디코딩 연산의 명시적 구성 제공.
• Qiskit를 사용하여 실제 양자 하드웨어에서 기법을 구현하고, 다양한 IBM 양자 프로세서 간 성능을 비교함으로써 검증한다.
• 심호 측정을 요구하지 않고 오류 수정을 구현하는 데 도전하며, 게이트 분해와 수치 안정성에 초점을 맞춘다.

제안 방법

• 홀수 n=2k+1인 경우, 인코딩은 보조 큐비트 σ를 사용하여 2k-큐비트 상태 ρ를 단지 3k개의 CNOT 게이트를 요구하는 유니터리 인코딩 Φ(σ⊗ρ)로 수행한다.
• 짝수 n=2k+2인 경우, 하이브리드 스킴은 두 개의 고전 비트 σ∈{|00⟩⟨00|,|01⟩⟨01|,|10⟩⟨10|,|11⟩⟨11|}와 한 개의 하다르드 게이트를 사용하며, 인코딩에 3k+2개의 CNOT이 필요하다.
• 인코딩 연산 Φ(σ⊗ρ)는 채널 이후에 역인코딩 Φ⁻¹이 σ⊗ρ를 복구할 수 있도록 설계되어, 부분 추적을 통해 고전 및 양자 정보의 완벽한 복구를 가능하게 한다.
• 이 스킴은 켄일-라플람 법칙과 오류 연산자 Xₙⁿ, Yₙⁿ, Zₙⁿ의 대수적 성질에 기반하여 올바른 오류를 수정할 수 있음을 보장한다.
• 수치적 검증은 Matlab, Mathematica, Python을 사용하여 수행되었으며, 행렬 노름을 통해 정확하거나 기계 정밀도 수준의 정확성을 확인하였다.
• 실험적 검증은 IBM의 ibmqx4(Tenerife) 및 ibmqx2(Yorktown) 프로세서에서 수행되었으며, 다양한 입력 상태 간 오류율과 허상도를 비교하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 심호 측정이나 복잡한 보조 큐비트 구조를 요구하지 않고도 완전히 상관된 채널에 대해 효율적인 양자 오류 수정이 가능할 수 있는가?
• RQ2 완전히 상관된 파울리-X, Y, Z 오류 하에서 2k-큐비트 양자 상태를 인코딩하고 디코딩하기 위해 필요한 최소 CNOT 게이트 수는 얼마인가?
• RQ3 인코딩에 고전 비트를 포함시키는 것은 상관 노이즈 하에서 고전 및 양자 정보 보호에 어떻게 기여하는가?
• RQ4 대칭적인 인코딩에도 불구하고 특정 큐비트(예: q₁)가 실험적 구현에서 더 높은 오류율을 보이는 이유는 무엇인가?
• RQ5 제안된 스킴은 고성능을 유지하면서 실제로 노이즈가 많은 중간 규모 양자(NISQ) 장치에서 신뢰성 있게 구현될 수 있는가?

주요 결과

• 홀수 n=2k+1인 경우, 3k개의 CNOT 게이트만을 사용하여 2k-큐비트 상태를 인코딩하고 디코딩하며, 부분 추적을 통한 완벽한 복구가 수치적으로 확인되었고, 정확한 노름 편차가 0이었다.
• 짝수 n=2k+2인 경우, 하이브리드 스킴은 3k+2개의 CNOT 게이트와 한 개의 하다르드 게이트를 사용하여 두 개의 고전 비트와 2k-큐비트 양자 상태를 모두 완벽하게 복구한다.
• Mathematica에서의 수치 시뮬레이션은 하다르드 게이트가 포함된 경우에도 스킴의 정확성이 정확히 확인되었으며, Matlab과 Python은 기계 정밀도 수준의 오류를 보였다.
• IBM의 ibmqx4 및 ibmqx2에서의 실험 결과, Tenerife(ibmqx4)가 Yorktown(ibmqx2)보다 허상도에서 뛰어나며, 특히 입력 00과 01에 대해 더 낮은 오류율을 보였다. Yorktown는 더 높은 게이트 및 읽기 오류를 보였다.
• 5-큐비트 실험에서는 어느 장치에서도 유의미한 결과를 얻지 못하여, 현재의 노이즈 있는 하드웨어에서 스킴의 확장성에 한계가 있음을 시사했다.
• 시스템적 오류가 관찰되었으며, 두 번째 큐비트(q₁)는 정의된 채널 조건에도 불구하고 예상보다 더 높은 오류율을 지속적으로 보였다. 이는 하드웨어 특화 노이즈 패tern을 시사한다.