[논문 리뷰] Error estimate and unfolding for periodic homogenization

Georges Griso|arXiv (Cornell University)|2011. 09. 09.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 3인용 수 79

한 줄 요약

이 논문은 정규성 가정 없이 정현적 균질화에서 최적의 오차 추정을 주기적 전개 방법을 사용하여 수립한다. 보정자의 정규성 조건을 필요로 하지 않으며, 단위 세포의 대응 면에서의 경계 추적 차이를 통한 조화 함수의 주기적 결함의 새로운 특성화를 제안한다. 이로 인해 균질화된 해와 도메인 경계에 대해 최소한의 정규성 조건 하에서 오차 추정이 ε^γ (γ > 0) 순서로 유도되며, n과 도메인 기하학적 구조에 대한 명시적 의존성이 있다.

ABSTRACT

This paper deals with the error estimate in problems of periodic homogenization. The methods used are those of the periodic unfolding. We give the upper bound of the distance between the unfolded gradient of a function belonging to $H1(Ω)$ and the space $ abla_x H^1(Ω)\oplus abla_y L^2(Ω; H^1_{per}(Y))$. These distances are obtained thanks to a technical result presented in Theorem 2.3: the periodic defect of a harmonic function belonging to $H1(Y)$ is written with the help of the norms $H^{1/2}$ of its traces diff erences on the opposite faces of the cell $Y$. The error estimate is obtained without any supplementary hypothesis of regularity on correctors.

연구 동기 및 목표

• 보정자의 W^{1,∞} 정규성 조건을 가정하지 않고 정현적 균질화에서 오차 추정을 유도하는 것.
• 단위 세포의 대응 면에서의 추적 차이를 통해 H^1(Y; X) 내 조화 함수의 주기적 결함을 특성화하는 것.
• 균질화된 해와 도메인 경계에 대해 최소한의 정규성 조건 하에서 균질화된 해와 그 기울기에 대해 ε^γ 순서의 오차 추정을 수립하는 것.
• 추적 기반 결함 분해를 통해 주기적 전개 방법을 저정규성 설정으로 확장하는 것.
• Lipschitz 및 C^{1,1} 도메인에서 유효한, ε에 대한 의존성이 없는 정량적 오차 추정을 제공하는 것.

제안 방법

• H^1(Ω) 내 함수의 기울기를 매크로스코픽 및 마이크로스코픽 성분으로 분해하기 위해 주기적 전개 방법을 사용한다.
• 함수와 그 주기적 근사 간의 거리 추정을 위해 추적 기반 리프팅 구성(보조정리 2.2)을 적용한다. 이는 W^{1,p} 공간에서 수행된다.
• 조화 함수에 대해 H^1(Y; X) 내에서 주기적 결함을 대응 면에서의 추적 차이의 H^{1/2} 노름을 통해 추적 기반 특성화를 수립한다.
• 경계 근처의 추정을 국소화하기 위해 컷오프 함수 ρε,α 를 도입하여 경계층 효과를 제어한다.
• ρε,α 와 기울기의 H^1 노름을 포함하는 가중치 노름을 사용하여 전개된 공간 내 안정성 추정을 유도한다.
• Poincaré-Wirtinger 부등식과 추적 추정을 적용하여 원래 해와 근사 해 사이의 오차를 근사한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 보정자의 W^{1,∞} 정규성 조건을 가정하지 않고 정현적 균질화에서 오차 추정을 도출할 수 있는가?
• RQ2 H^1(Y; X) 내 조화 함수의 주기적 결함은 단위 세포의 대응 면에서의 추적 차이로 어떻게 정량화할 수 있는가?
• RQ3 균질화된 해와 도메인 경계에 대해 최소한의 정규성 조건 하에서 균질화된 해와 그 기울기의 최적 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ4 추적 기반 결함 분해를 통해 주기적 전개 방법을 저정규성 설정에서 오차 추정을 도출할 수 있도록 확장할 수 있는가?
• RQ5 오차 추정은 도메인 기하학과 우변 f ∈ L^2(Ω)의 정규성에 대해 어떻게 의존하는가?

주요 결과

• H^1(Y; X) 내 조화 함수의 주기적 결함은 단위 세포 Y의 대응 면에서의 추적 차이의 H^{1/2} 노름의 합과 동치이다.
• C^{1,1} 경계의 경우, 균질화된 해 Φ가 H^2(Ω)에 속하면 오차 추정은 ε 순서이다.
• Lipschitz 경계의 경우, 오차 추정은 γ ∈ (0, 1/3] 인 ε^γ 순서이며, 이는 연산자 A, 차원 n, 도메인 ∂Ω 에 따라 달라진다.
• 균질화된 해 Φ가 W^{1,q}(Ω)에 속하고 q > 2 이면 오차 추정은 ε^{(q-2)/(3q-2)} 순서이다.
• 계수 행렬 A가 W^{1,∞}(Ω; L^∞_per(Y)) 에 속하면 추정이 여전히 유효하며, 이는 더 낮은 정규성의 계수에까지 적용 가능성을 확장한다.
• 오차 추정의 상수는 ε에 의존하지 않으며, 오직 n, A, 도메인 ∂Ω 에만 의존한다.