[논문 리뷰] Error Estimate of MacCormack Rapid Solver Method for 2D Incompressible Navier-Stokes Problems

Eric Ngondiep|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 20.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 2차원 비압축성 스토크스 방정식에 대한 이중 수준 MacCormack 빠른 해법(MCRS) 방법의 오차 추정과 수렴 속도를 분석한다. 여기서는 명시적 MacCormack 및 크랭크-니콜슨 스킴을 조합한다. 이론적 및 수치적 결과는 시간과 공간에서 둘 다 2차 정확도를 확인하며, 균일한 메쉬 정렬 조건 하에서 속도 및 압력 오차의 수렴 속도가 약 2.0임을 입증한다.

ABSTRACT

The error estimates and convergence rate of a two-level MacCormack rapid solver method for solving a two-dimensional incompressible Navier-Stokes equations are analyzed. This represents a continuation of the work on the stability analysis of the method. The theoretical result suggests that the rapid solver method is both convergent and second order accurate with respect to time step $\\Delta t.$ A wide set of numerical evidences confirm this theoretical analysis.

연구 동기 및 목표

• 2차원 비압축성 스토크스 방정식에 대한 이중 수준 MacCormack 빠른 해법(MCRS) 방법의 오차 추정과 수렴 속도를 분석한다.
• 이전의 안정성 분석을 확장하여 전역 오차 추정과 수렴 속도 검증을 제공한다.
• 기존의 1차 방법(예: 이중 수준 유한요소 갈레르킨 방법)과 비교하여 MCRS 스킴의 효율성과 강건성을 입증한다.
• 다양한 메쉬 크기와 시간 간격을 사용한 광범위한 수치 실험을 통해 이론적 결과를 확인한다.

제안 방법

• MCRS 방법은 2차원 비압축성 스토크스 방정식을 해결하기 위해 명시적 예측-수정형 MacCormack 스킴과 크랭크-니콜슨 시간 이산화를 조합한다.
• 이중 수준 설정이 사용되며, 여기서 MacCormack 방법은 비선형 대류 항을 명시적으로 처리하고, 크랭크-니콜슨 스킴은 점성 항과 압력 항에 대해 시간 기준 2차 정확도를 보장한다.
• 공간 이산화에서는 변분 형식을 사용하며, 삼각형 메쉬 영역 위에서 유한요소 방법을 적용하고, 혼합 유한요소 접근법을 통해 비압축성 조건을 강제한다.
• 속도, 압력, 그 기울기의 수렴을 정량화하기 위해 L²(0,T;L²) 및 L²(0,T;H¹) 공간에서 오차 노름을 정의한다.
• 수렴 속도는 공식 $ r^{1}_{(\text{cdot})} = \log_2\left( \frac{E^{N}((\text{cdot}))}{E^{N-1}((\text{cdot}))} \right) $ 를 사용하여 계산되며, $ \Delta t = h $ 를 조건으로 하여 정확도의 순서를 평가한다.
• 정확한 해가 존재하는 두 가지 벤치마크 문제에 대해 균일한 메쉬 정렬과 시간 간격 감소를 적용한 수치 실험을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이중 수준 MCRS 방법은 2차원 비압축성 스토크스 방정식에 대해 시간과 공간에서 2차 정확도를 보인다 할 수 있는가?
• RQ2 속도, 압력, 속도 기울기 오차의 관점에서 MCRS 방법의 전역 수렴 속도는 어떠한가?
• RQ3 MCRS 방법은 1차 방법(예: 이중 수준 유한요소 갈레르킨 방법)과 비교해 정확도 및 효율성 면에서 뛰어나다 할 수 있는가?
• RQ4 수치 실험은 이론적 오차 추정과 수렴 속도를 어느 정도 확인하는가?
• RQ5 혼합 MacCormack–크랭크-니콜슨 접근법은 장기간에 걸쳐 안정성과 정확도를 유지하는가?

주요 결과

• 이론적 분석 결과, MCRS 방법은 시간 간격 $ \Delta t $ 에 대해 2차 정확도를 보이며, 속도 및 압력 오차의 수렴 속도가 약 2.0에 수렴함을 확인한다.
• 수치 실험 결과, $ \Delta t = 2^{-7} $ 에서 속도 $ u $ 의 수렴 속도는 약 2.0000이며, $ r^{1}_u = 2.0000 $ 로 나타나 2차 수렴을 확인한다.
• 압력 $ p $ 에 대해서는 $ \Delta t \leq 2^{-7} $ 일 때 수렴 속도가 약 2.0000로 안정화되어 2차 정확도를 확인한다.
• 기울기 오차 $ E^N(\nabla u) $ 는 약 1.415의 속도로 수렴하며, 이는 H¹-노름 오차에 대한 기대 순서와 일치한다.
• MCRS 방법은 1차 수준의 이중 수준 유한요소 갈레르킨 방법보다 정확도 및 계산 효율성 면에서 뛰어나다.
• 정확한 해가 존재하는 실험을 통해 다양한 레이놀즈 수와 문제 설정 조건에서도 MCRS 스킴이 강건성과 신뢰성을 보임을 입증하였다.