[논문 리뷰] Error Estimates for Sparse Optimal Control Problems by Piecewise Linear Finite Element Approximation

Xiaoliang Song, Bo Chen외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 26.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 22인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 타원형 PDE에 의해 지배되는 희소 최적 제어 문제에서 $L^1$-노름에 대한 유한요소 이산화 체계를 제안한다. 이는 이중성 기반 접근법과 가속화된 블록 좌표 강하(ABCD) 방법을 사용하여 하위 최적의 노드 적분을 피한다. 주요 기여는 최적의 오차 수렴 순서 $O(h)$를 유지하는 새로운 $L^1$-노름 근사법으로, 엄밀한 유한요소 오차 추정을 통해 확인되었으며, 이는 이산화 과정이 원래 해의 수렴 속도를 떨어뜨리지 않음을 보장한다.

ABSTRACT

Optimization problems with $L^1$-control cost functional subject to an elliptic partial differential equation (PDE) are considered. However, different from the finite dimensional $l^1$-regularization optimization, the resulting discretized $L^1$-norm does not have a decoupled form when the standard piecewise linear finite element is employed to discretize the continuous problem. A common approach to overcome this difficulty is employing a nodal quadrature formula to approximately discretize the $L^1$-norm. It is inevitable that this technique will incur an additional error. Different from the traditional approach, a duality-based approach and an accelerated block coordinate descent (ABCD) method is introduced to solve this type of problem via its dual. Based on the discretized dual problem, a new discretized scheme for the $L^1$-norm is presented. Compared new discretized scheme for $L^1$-norm with the nodal quadrature formula, the advantages of our new discretized scheme can be demonstrated in terms of the approximation order. More importantly, finite element error estimates results for the primal problem with the new discretized scheme for the $L^1$-norm are provided, which confirm that this approximation scheme will not change the order of error estimates.

연구 동기 및 목표

• PDE 제약 최적 제어 문제에서 $L^1$-제어 비용을 고려할 때, 선형 조각별 유한요소를 사용할 경우 비분리된 $L^1$-노름 이산화의 과제를 해결하기 위해.
• 기본적인 노드 적분에 의해 유도되는 하위 최적의 근사 오차를 해결하기 위해 $L^1$-노름 이산화에서.
• 유한요소 방법의 최적 수렴 순서를 유지하는 $L^1$-노름의 새로운 이산화 체계를 개발하기 위해.
• 새로운 이산화 체계를 사용하여 원래 문제에 대한 엄밀한 유한요소 오차 추정을 수립하여, 이로 인해 수렴 속도가 떨어지지 않음을 보장하기 위해.

제안 방법

• 희소 최적 제어 문제를 재구성하기 위해 이중성 기반 접근법을 사용하여, 가속화된 블록 좌표 강하(ABCD) 방법을 효율적으로 적용할 수 있도록 한다.
• 이중 문제에서 유도된 새로운 이산화된 $L^1$-노름 근사법 $\|u_h\|_{\widetilde{L}_h^1(\Omega_h)}$를 제안하며, 노드 적분 공식을 피한다.
• 이중 공식을 통해 $L^1$-노름의 더 정확한 근사를 구성함으로써, 노드 적분 접근법에서 유도되는 $O(h)$ 오차를 피하는 방식으로 새로운 체계를 설계한다.
• 새로운 $L^1$-노름 이산화를 사용하여 원래 문제에 대한 유한요소 오차 추정을 유도하며, 이로 인해 수렴 순서가 여전히 $O(h)$로 유지됨을 증명한다.
• 분석은 이중성 추론, 보간 오차 추정, 연속 및 이산 해 연산자 간의 차이에 대한 경계에 기반한다.
• 주요 추정은 허들러 부등식과 해 연산자 $\mathcal{S}$ 및 $\mathcal{S}_h$의 성질을 사용하여 유도되며, 최종 오차 경계는 $\|u^* - u_h^*\|_{L^2} \leq C(\alpha^{-1}h + \alpha^{-3/2}h^2)$ 형태를 가진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 노드 적분의 $O(h)$ 오차를 피하면서도 제어의 $L^2$-오차에서 최적 수렴 순서를 유지하는 $L^1$-노름의 유한요소 이산화 체계를 구성할 수 있는가?
• RQ2 새로운 이산화된 $L^1$-노름 근사법이 원래 문제를 해결할 때 연속 문제와 동일한 수렴 속도를 유지하는가?
• RQ3 이중성 기반 접근법과 ABCD 방법의 조합이 PDE 제약 최적 제어 문제에서 $L^1$-노름의 더 정확하고 안정적인 이산화를 가능하게 하는가?
• RQ4 새로운 $L^1$-노름 이산화가 제어 및 상태 변수에 대한 전체 유한요소 오차 추정에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 기존의 노드 적분 공식 $\|u_h\|_{L_h^1(\Omega_h)}$에 비해 더 높은 근사 순서를 가지는 새로운 이산화된 $L^1$-노름 $\|u_h\|_{\widetilde{L}_h^1(\Omega_h)}$를 도출하였다. 이는 $O(h)$ 오차를 유발한다.
• 새로운 $L^1$-노름 이산화를 사용한 원래 문제에 대한 유한요소 오차 추정은 수렴 순서가 여전히 최적임을 확인하였으며, $\|u^* - u_h^*\|_{L^2(\Omega)} \leq C(\alpha^{-1}h + \alpha^{-3/2}h^2)$로 표현된다.
• 오차 경계는 희소성 매개변수 $\beta$에 독립적이므로, 다양한 희소성 영역에서의 강인성을 보여준다.
• 이중성 기반 접근법과 ABCD 방법을 통합함으로써, 기존의 유한요소 이산화에서 발생하는 비분리된 서브기울기 문제를 피할 수 있는 더 정확한 $L^1$-노름 근사법을 도출할 수 있었다.
• 분석을 통해 새로운 이산화 체계가 유한요소 방법의 수렴 속도를 떨어뜨리지 않으며, 제어의 $L^2$-노름에서 최적의 $O(h)$ 수렴 순서를 유지함을 증명하였다.
• 도메인, 해의 정(regularity), 유한요소 근사에 대한 표준 가정 하에 오차 추정이 수립되었으며, 이는 광범위한 적용 가능성을 보장한다.