[논문 리뷰] Errors-in-variables models: a generalized functions approach

Victoria Zinde‐Walsh|ArXiv.org|2009. 09. 29.

Bayesian Modeling and Causal Inference참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 온화한 분포 공간에서의 일반화된 함수를 사용하여 오차가 있는 변수 모형에서 비모수적 및 준모수적 식별성을 재고한다. 이전 연구보다 더 약한 조건 하에서 식별성을 확립하고, 결함이 있는 분해 정리에 의존하지 않으며, $L_1$ 공간에서 일致한 비모수적 플러그인 추정량을 구축한다. 또한 측정 오차의 모멘트 생성 함수가 필요하지 않은 준모수적 식별성을 보여준다.

ABSTRACT

Identification in errors-in-variables regression models was recently extended to wide models classes by S. Schennach (Econometrica, 2007) (S) via use of generalized functions. In this paper the problems of non- and semi- parametric identification in such models are re-examined. Nonparametric identification holds under weaker assumptions than in (S); the proof here does not rely on decomposition of generalized functions into ordinary and singular parts, which may not hold. A consistent nonparametric plug-in estimator for regression functions in the space of absolutely integrable functions constructed. Semiparametric identification via a finite set of moments is shown to hold for classes of functions that are explicitly characterized; unlike (S) existence of a moment generating function for the measurement error is not required.

연구 동기 및 목표

• 온화한 분포 공간을 활용하여 오차가 있는 변수 모형에서의 비모수적 식별성을 재구성하고 강화한다.
• 일반화된 함수 분해에 기반한 이전 식별 증명의 결함을 수정한다. 특히 일반적으로 타당하지 않은 정규 부분과 특이 부분으로의 유일한 분해를 가정하는 문제점을 해결한다.
• 식별 맵핑의 연속성을 보장할 수 있는 조건을 설정함으로써 일관된 추정이 가능하도록 한다.
• $L_1$ 공간에서 회귀 함수에 대한 일관된 비모수적 플러그인 추정량을 구축한다.
• 측정 오차의 모멘트 생성 함수가 필요하지 않은 유한 모멘트를 통한 준모수적 식별성을 입증한다.

제안 방법

• 온화한 분포 공간 $\mathcal{S}'$ 를 사용하여 푸리에 변환을 일반화하고, 유계 또는 특이한 회귀 함수를 다룰 수 있도록 한다.
• $\mathcal{S}'$ 공간에서의 커플링 정리를 적용하여 모형을 $W_y$, $W_{xy}$, $g$, 및 특성 함수 $\phi$ 의 푸리에 변환을 포함하는 방정식 시스템으로 변환한다.
• $\varepsilon_y(\zeta) = \gamma(\zeta)\phi(\zeta)$ 와 $i\varepsilon_{xy}(\zeta) = \dot{\gamma}(\zeta)\phi(\zeta)$ 를 $\mathcal{S}'$ 공간에서 풀어 식별성을 확립한다.
• 일반화된 함수를 정규 부분과 특이 부분으로 분해하는 데 의존하지 않으며, 이는 일반적으로 $\mathcal{S}'$ 공간에서 타당하지 않다.
• 제로에서 도함수가 사라지는 것을 방지하기 위해 수정된 가중치 함수 구성 방식을 사용하여, Schennach (2007)의 결함을 시정한다.
• 회귀 함수 $g$, $W_y$, $W_{xy}$ 에 대한 적분 가능성 조건 하에서 식별 맵핑의 연속성을 확립함으로써 일관된 추정이 가능하도록 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Schennach (2007) 보다 더 약한 조건 하에서도 오차가 있는 변수 모형에서 비모수적 식별성이 확립될 수 있는가?
• RQ2 이러한 맥락에서 일반화된 함수를 정규 부분과 특이 부분으로 분해하는 것은 타당하고 필수적인가?
• RQ3 점별 푸리에 변환 정의에 의존하지 않고 $L_1$ 공간에서 일관된 비모수적 플러그인 추정량을 구성할 수 있는가?
• RQ4 측정 오차의 모멘트 생성 함수가 필요하지 않은 채로 준모수적 식별성이 성립하는가?
• RQ5 제안된 식별 전략에 있어 일반화된 함수 공간 내의 곱 연산이 타당한가?

주요 결과

• 비모수적 식별성은 Schennach (2007) 보다 더 약한 조건 하에서도 성립하며, 특히 $\int (1+t^2)^{-l} |b(t)| dt < \infty$ 를 만족하는 어떤 $l \geq 0$ 에 대해 성립한다.
• 증명 과정에서 일반화된 함수를 정규 부분과 특이 부분으로 분해하는 데 의존하지 않으며, 이는 $\mathcal{S}'$ 공간에서 일반적으로 타당하지 않다.
• 식별 맵핑의 연속성 조건이 제시되어, 변화에 대한 추정량의 안정성이 보장된다.
• 회귀 함수 $g$ 에 대한 일관된 비모수적 플러그인 추정량이 $L_1$ 공간에서 구축된다.
• 측정 오차의 모멘트 생성 함수가 필요하지 않은 유한 모멘트를 통한 준모수적 식별성이, 명시적으로 특성화된 함수 클래스에 대해 확립된다.
• Schennach (2007)에서 제안한 가중치 함수는 제로에서 값이 0이 되어 식별에 부적합하며, 이를 시정한 새로운 구성 방법이 제시된다.