[논문 리뷰] Escobar-Yamabe compactifications for Poincare-Einstein manifolds and rigidity theorems

Xuezhang Chen, Mijia Lai외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 07.

Geometric Analysis and Curvature Flows인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 에스카보르-야마베 콪actification를 통해 파oincaré-에인슈타인 다양체에 대한 강성 정리를 수립하며, 경계 메트릭과 무한대에서의 등각 메트릭을 포함하는 야마베 유형 부등식에서 등호가 성립하는 것은 오직 다양체가 하이퍼볼릭 공간과 등장하는 경우에만 성립함을 증명한다. 이러한 결과는 경계 무한대가 표준 구면과 등각적으로 동치인 파oincaré-에인슈타인 다양체의 강성 정리에 대해 새로운 간단한 증명을 제공한다.

ABSTRACT

Let $(X^{n},g_+) $ $(n\geq 3)$ be a Poincaré-Einstein manifold which is $C^{3,α}$ conformally compact with conformal infinity $(\partial X, [\hat{g}])$. On the conformal compactification $(\overline{X}, \bar g=ρ^2g_+)$ via some boundary defining function $ρ$, there are two types of Yamabe constants: $Y(\overline{X},\partial X,[\bar g])$ and $Q(\overline{X},\partial X,[\bar g])$. (See definitions ( ef{def.type1}) and ( ef{def.type2})). In \cite{GH}, Gursky and Han gave an inequality between $Y(\overline{X},\partial X,[\bar g])$ and $Y(\partial X,[\hat{g}])$. In this paper, we first show that the equality holds in Gursky-Han's theorem if and only if $(X^{n},g_+)$ is isometric to the standard hyperbolic space $(\mathbb{H}^{n}, g_{\mathbb{H}})$. Secondly, we derive an inequality between $Q(\overline{X},\partial X,[\bar g])$ and $Y(\partial X, [\hat g])$, and show that the equality holds if and only if $(X^{n},g_+)$ is isometric to $(\mathbb{H}^{n}, g_{\mathbb{H}})$. Based on this, we give a simple proof of the rigidity theorem for Poincaré-Einstein manifolds with conformal infinity being conformally equivalent to the standard sphere.

연구 동기 및 목표

• 콤팩트화된 파oincaré-에인슈타인 다양체와 그 경계의 등각 무한대 사이의 야마베 상수 간의 날카로운 부등식을 수립하는 것.
• 이러한 부등식에서 등호가 성립하는 조건을 규명하고, 특히 기저가 되는 다양체의 기하학적 성질과의 관계를 규명하는 것.
• 경계 무한대가 표준 구면과 등각적으로 동치인 파oincaré-에인슈타인 다양체의 강성 정리를 간단히 재증명하는 것.
• 곡률 및 경계 조건 하에서 에스카보르-야마베 콩팩티피케이션의 구조를 분석하는 것.
• 야마베 유형 부등식에서 등호가 성립할 경우 다양체가 하이퍼볼릭 공간과 등장하는 것을 증명하는 것.

제안 방법

• 경계를 가진 콤팩트화된 다양체 위에서 두 개의 야마베 유형 상수인 $ Y(\bar{X}, \bar{\nabla}X, [\bar{g}]) $ 와 $ Q(\bar{X}, \bar{\nabla}X, [\bar{g}]) $ 를 정의한다.
• 경계 정의 함수 $ \rho $ 를 통해 에스카보르-야마베 콩팩티피케이션 $ \bar{g} = \rho^2 g_+ $ 를 적용하며, $ C^{3,\beta} $ 정규성을 확보한다.
• 양의 질량 정리와 에스카보르, 브렌들-첸의 결과를 적용하여, 일정한 스칼라 곡률과 전적으로 기하학적 경계를 가진 메트릭의 존재를 보인다.
• 가우스-코다지 방정식과 조건 $ \bar{E} = 0 $ 에서 유도된 핵심 항등식을 통해 리치 곡률이 0이 됨을 의미한다.
• 레일리의 공식과 경계 조건 $ N(u) = \text{constant} $ 을 사용하여 다양체가 유클리드 구와 등장함을 유도한다.
• 등호가 부등식에서 성립할 경우 $ (X, g_+) $ 는 반드시 $ (\bb{H}^n, g_{\bb{H}}) $ 와 등장함을 결론짓는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Gursky-Han 부등식 $ Y(\bar{X}, \bar{\nabla}X, [\bar{g}]) $ 과 $ Y(\bar{\nabla}X, [\bar{g}]) $ 사이에서 등호가 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 새로운 부등식 $ Q(\bar{X}, \bar{\nabla}X, [\bar{g}]) $ 와 $ Y(\bar{\nabla}X, [\bar{g}]) $ 사이에서 등호가 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 경계 무한대가 표준 구면과 등각적으로 동치인 파oincaré-에인슈타인 다양체의 강성을 야마베 유형 콩팩티피케이션을 통해 재증명할 수 있는가?
• RQ4 등호가 성립할 경우 에스카보르-야마베 메트릭이 유클리드가 되도록 하는 기하학적 제약 조건은 무엇인가?
• RQ5 트레이스 없는 리치 텐서의 소멸과 경계의 우비리시티가 유클리드 구와의 등장성으로 이어지는 방식은 무엇인가?

주요 결과

• Gursky-Han 부등식 $ Y(\bar{X}, \bar{\nabla}X, [\bar{g}]) \triangleq Y(\bar{\nabla}X, [\bar{g}]) $ 에서 등호가 성립하는 것은 오직 $ (X, g_+) $ 가 $ (\bb{H}^n, g_{\bb{H}}) $ 와 등장할 때에만 성립한다.
• Q-상수 부등식에서의 유사한 등호 $ Q(\bar{X}, \bar{\nabla}X, [\bar{g}]) \triangleq Y(\bar{\nabla}X, [\bar{g}]) $ 도 마찬가지로 $ (X, g_+) \to (\bb{H}^n, g_{\bb{H}}) $ 일 때에만 성립한다.
• Q-부등식에서 등호가 성립할 경우 콤팩트화된 메트릭 $ \bar{g} $ 의 리치 곡률이 식별적으로 0이 되며, 이는 $ \bar{R}_{\beta\beta} = 0 $ 이라는 것을 의미한다.
• 경계가 우비리시티임과 동시에 스칼라 곡률 $ \bar{R} $ 가 일정함을 보여주며, 이에 따라 $ \bar{\nabla}^2 \rho = \frac{1}{n} (\triangle_{\bar{g}} \rho) \bar{g} $ 가 성립한다.
• 레일리의 공식과 경계 조건 $ N(u) = \text{constant} $ 을 사용하여 다양체 $ (\bar{X}, \bar{g}) $ 가 유클리드 단위 구와 등장함을 증명한다.
• 따라서 $ (X, g_+) $ 는 $ (\bb{H}^n, g_{\bb{H}}) $ 와 등장하며, 경계 무한대가 $ S^{n-1} $ 과 등각적으로 동치인 경우의 강성 정리가 완성된다.