[논문 리뷰] Essential singularities of Euler products

Gautami Bhowmik, Jan‐Christoph Schlage‐Puchta|arXiv (Cornell University)|2010. 01. 12.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $ p $ 와 $ p^{-s} $ 에 대한 유리 함수인 오일러乘수를 가진 디리클레 급수의 본질적 특이점을 분류하며, 오일러乘수의 주요 부분이 비순환적일 경우 또는 특정 국소적 영점들이 $ \Re s = \beta $ 근처에 집적될 경우 자연경계가 발생함을 증명한다. 주요 기여는 다항함수 $ W(X,Y) $ 의 구조에 기반한 해석적 계속성 행동에 대한 완전한 다섯 가지 분류이며, 에스터만의 방법이 일반적으로 실패하고, 1.5변수 급수보다 다변수 제타함수 분석이 기술적으로 더 간단하다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

We classify singularities of Dirichlet series having Euler products which are rational functions for p and p^{-s} for p a prime number and give examples of natural boundaries from zeta functions of groups and height zeta functions.

연구 동기 및 목표

• 유리 함수 $ W $ 를 가진 형태의 디리클레 급수 $ D(s) = \prod_p W(p, p^{-s}) $ 의 특이점을 분류하는 것.
• 해당 급수가 $ \Re s = \beta $ 를 초월해 해석적 계속성을 갖는 조건을 결정하거나 $ \Re s = \beta $ 에 자연경계를 갖는 조건을 규명하는 것.
• 에스터만의 고전적 방법(극 또는 영점 집적 기반)이 해석적 계속성에 대한 널리 믿어지는 추측을 증명하는 데 실패함을 보여주는 것.
• 1.5변수 문제(한 복소변수, 이변수 다항함수)와 전체 다변수 사례의 복잡성 비교.
• 다변수 제타함수 $ D(s_1, s_2) = \prod_p W(p^{-s_1}, p^{-s_2}) $ 가 분석하기 더 쉽고 자연경계에 대한 완전한 분류가 가능함을 보여주는 것.

제안 방법

• $ \alpha = \sup\left\{ \frac{n+1}{m} : a_{n,m} \neq 0 \right\} $ 와 $ \beta = \sup\left\{ \frac{n}{m} : a_{n,m} \neq 0 \right\} $ 를 정의하여 수렴 및 계속성 영역를 결정한다.
• $ W $ 의 '주요 부분' $ \tilde{W} $ 를 도입하며, 이는 $ \frac{n}{m} = \beta $ 를 만족하는 항들로 구성되며, 오일러乘수의 해석적 행동를 지배한다.
• $ \tilde{W} $ 가 순환적인지 여부, $ W \neq \tilde{W} $ 인지 여부, 그리고 국소적 영점 $ W(p, p^{-s}) $ 가 $ \Re s = \beta $ 오른쪽에 집적되는지 여부에 따라 $ D(s) $ 의 행동을 다섯 가지 경우로 분류한다.
• 짧은 간격에서의 소수 정리(Prime Number Theorem in short intervals)를 이용하여, $ \tilde{W} $ 가 비순환적이라면 $ \Re s > \beta $ 인 영점이 존재하는 소수의 집합이 무한함을 보인다.
• 다변수 제타함수의 결과, 특히 $ D(s_1, s_2) $ 가 $ \mathbb{C}^2 $ 로 해석적 계속 가능할 조건이 $ W $ 가 순환적일 때에만 성립한다는 정리를 적용한다.
• 에스터만의 방법(극 또는 영점이 $ \Re s = \beta $ 에 집적되는 것에 기반)이 모든 경우를 포괄하지 못함을 보여주기 위해 반례를 구성한다. 특히 리만 제타함수의 영점이 간섭할 경우에 특히 그러하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유리 함수 $ W $ 를 가진 디리클레 급수 $ D(s) = \prod_p W(p, p^{-s}) $ 가 $ \Re s = \beta $ 를 초월해 해석적 계속성을 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ2 왜 에스터만의 방법(극/영점 집적 기반)은 오직 유한한 $ \zeta $-함수의 곱만 계속 가능하다는 널리 믿어지는 추측을 증명하지 못하는가?
• RQ3 1.5변수 오일러乘수의 행동은 전체 다변수 제타함수 $ D(s_1, s_2) = \prod_p W(p^{-s_1}, p^{-s_2}) $ 와 어떻게 비교되는가?
• RQ4 리만 제타함수의 영점은 $ D(s) $ 의 해석적 계속성을 방해하는 데 어떤 역할을 하는가? 어떤 경우에 제어할 수 있는가?
• RQ5 자연경계 $ D(s) $ 는 주요 부분 $ \tilde{W} $ 의 순환적 성질에 의해 완전히 특징지을 수 있는가? 예외는 무엇인가?

주요 결과

• 오일러乘수 $ D(s) = \prod_p W(p, p^{-s}) $ 는 반평면 $ \Re s > \alpha $ 에서 수렴하며, $ \alpha $ 와 $ \beta $ 는 $ W(X,Y) $ 의 지수를 통해 정의된 바, $ \Re s > \beta $ 로 해석적 계속성을 갖는다.
• 사례 (1): $ W $ 가 순환적이고, 단위 인수를 제거한 후 $ W = \tilde{W} $ 라면, $ D(s) $ 는 리만 제타함수의 유한한 곱이며 $ \mathbb{C} $ 로 해석적 계속 가능하다.
• 사례 (2): $ \tilde{W} $ 가 비순환적이라면, $ \Re s = \beta $ 위의 모든 점이 저항점(obstructing point)이며, 극 또는 영점의 집적이 원인으로 본질적 특이점이 된다.
• 사례 (3): $ W \neq \tilde{W} $, $ \tilde{W} $ 가 순환적이고, $ \frac{n}{m} < \beta < \frac{n+1}{m} $ 를 만족하는 무한히 많은 $ (n,m) $ 가 존재한다면, $ \beta $ 는 저항점이다.
• 사례 (4): $ W \neq \tilde{W} $, $ \tilde{W} $ 가 순환적이고, $ \frac{n}{m} < \beta < \frac{n+1}{m} $ 를 만족하는 $ (n,m) $ 가 유한히 존재하지만, 무한히 많은 소수 $ p $ 가 $ \Re s_0 > \beta $ 인 $ W(p, p^{-s}) $ 의 영점을 갖는다면, $ \Re s = \beta $ 위의 모든 점이 저항점이다.
• 사례 (5): 위의 경우에 해당하지 않으면, $ \Re s = \beta $ 위의 어떤 점도 저항점이 아니며, 극/영점 집적만으로는 탐지할 수 없는 행동을 보인다. 이 경우는 에스터만의 방법으로는 포괄되지 않는다.