[논문 리뷰] Essentiality of the Non-stoquastic Hamiltonians and Driver Graph Design in Quantum Optimization Annealing

Vicky Choi|arXiv (Cornell University)|2021. 05. 05.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 적절히 설계된 XX 드라이버 그래프를 가진 비스토크스틱 해밀토니안이 이중 반교차(dual-anti-crossing) 구조를 만들어내어 다항시간 내에 비아디아틱 작동이 가능한 충분히 큰 스펙트럴 갭을 제공함으로써 양자 어닐링에서 지수적 양자 속도 향상을 가능하게 한다. 핵심 기여는 문제 구조에 대한 사전 지식 없이 이러한 비스토크스틱 드라이버를 체계적으로 설계할 수 있는 방법을 제공하는 것으로, 어려운 최적화 사례에서 스토크스틱 및 고전 알고리즘보다 빠른 성능을 달성한다.

ABSTRACT

One of the distinct features of quantum mechanics is that the probability amplitude can have both positive and negative signs, which has no classical counterpart as the classical probability must be positive. Consequently, one possible way to achieve quantum speedup is to explicitly harness this feature. Unlike a stoquastic Hamiltonian whose ground state has only positive amplitudes (with respect to the computational basis), a non-stoquastic Hamiltonian can be eventually stoquastic or properly non-stoquastic when its ground state has both positive and negative amplitudes. In this paper, we describe that, for some hard instances which are characterized by the presence of an anti-crossing (AC) in a transverse-field quantum annealing (QA) algorithm, how to design an appropriate XX-driver graph (without knowing the prior problem structure) with an appropriate XX-coupler strength such that the resulting non-stoquastic QA algorithm is proper-non-stoquastic with two bridged anti-crossings (a double-AC) where the spectral gap between the first and second level is large enough such that the system can be operated diabatically in polynomial time. The speedup is exponential in the original AC-distance, which can be sub-exponential or exponential in the system size, over the stoquastic QA algorithm, and possibly the same order of speedup over the state-of-the-art classical algorithms in optimization. This work is developed based on the novel characterizations of a modified and generalized parametrization definition of an anti-crossing in the context of quantum optimization annealing introduced in [4].

연구 동기 및 목표

• 작은 스펙트럴 갭을 가진 어려운 최적화 문제를 해결하는 데 있어 스토크스틱 양자 어닐링의 한계를 해결하기 위해.
• 비스토크스틱 해밀토니안을 통해 유리한 반교차 구조를 설계함으로써 더 빠른 양자 어닐링을 달성할 수 있는지 탐색하기 위해.
• 스펙트럴 갭이 크고 비아디아틱 작동이 가능한 이중 반교차를 생성하는 XX 드라이버 그래프와 커플러 강도를 설계하는 방법을 개발하기 위해.
• 이 접근법이 스토크스틱 양자 어닐링보다 지수적 속도 향상을 보이며, 고전 최적화 알고리즘과 비교해도 동등하거나 슈퍼어리어를 달성할 수 있음을 보여주기 위해.

제안 방법

• 저자는 이전 연구를 확장하여 비스토크스틱 효과를 포함한 양자 최적화에서의 반교차 일반화 파arametrization을 도입한다.
• 반교차 지점 근처에서 왼쪽 및 오른쪽 기저 상태 간의 오버랩을 계산하기 위해 수정된 브릴루아인-바이너 편미분 이론을 사용하여 스펙트럴 갭을 분석한다.
• 이 방법은 갭에 가장 큰 기여를 하는 성분이 왼쪽 및 오른쪽 상태 사이의 최소 드라이버 거리(t)에 있는 상태들임을 밝혀내며, 계수는 거리에 따라 기하급수적으로 감소한다.
• XX-커플러 강도 $ J_{\mathsf{xx}} > 0 $ 를 조정함으로써 시스템을 비스토크스틱으로 만들고, 이로 인해 큰 갭을 가진 이중 반교차 구조를 생성한다.
• 드라이버 그래프 $ G_{\mathsf{driver}} $ 는 기저 상태와 첫 번째 옹진 상태를 다수의 짧은 경로로 연결하도록 설계되어, 진폭의 간섭을 통해 갭을 최대화한다.
• 이 접근법은 촉매형 해밀토니안 $ \mathcal{H}_{\mathsf{driver}} = \mathcal{H}_X + s\mathcal{H}_{\mathsf{XX}} $ 를 사용하여 초기 기저 상태가 균일 초월 상태가 되도록 보장함으로써 실험적 실현 가능성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 엔지니어링된 XX 드라이버를 가진 비스토크스틱 해밀토니안이 어려운 최적화 문제를 해결하는 데 있어 스토크스틱 양자 어닐링보다 뚜렷한 이점을 제공할 수 있는가?
• RQ2 스펙트럴 갭을 최대화하고 비아디아틱 작동을 가능하게 하기 위해 이중 반교차 구조를 어떻게 시스템적으로 설계할 수 있는가?
• RQ3 드라이버 그래프의 위상 구조와 커플러 강도는 반교차 갭의 크기에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 원래 문제의 아디아틱 갭이 작더라도, 스펙트럴 갭을 다항시간 비아디아틱 진동이 가능하도록 충분히 크게 만들 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 비스토크스틱 양자 어닐링 접근법은 스토크스틱 양자 어닐링보다 지수적 속도 향상을 달성하며, 이 속도 향상은 원래 반교차 거리에 따라 지수적으로 증가한다.
• XX 드라이버에 의해 생성된 이중 반교차 구조는 큰 스펙트럴 갭을 보장하여 다항시간 내에 비아디아틱 작동이 가능하다.
• 스펙트럴 갭은 드라이버 그래프에서 왼쪽 및 오른쪽 상태 사이의 가장 짧은 경로에 의해 지배되며, 진폭 계수는 거리에 따라 기하급수적으로 감소한다.
• 이 방법은 문제 구조에 대한 사전 지식 없이도 작동하며, 오직 XX 드라이버 그래프와 커플러 강도를 엔지니어링할 수 있는 능력에 의존한다.
• 이 접근법은 편미분에 대해 강건하며, 반교차가 약할 경우에도 진폭의 기하급수적 감쇠가 유지된다면 여전히 효과가 있다.