[논문 리뷰] Estimate for Initial MacLaurin Coefficients of Certain Subclasses of Bi-univalent Functions

Pranay Goswami, Badr S. Alkahtani외 1명|Repository of the Academy's Library (Library of the Hungarian Academy of Sciences)|2015. 03. 16.

Analytic and geometric function theory참고 문헌 7인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 코어널 함수 $ k(z) $ 와의 콘볼루션을 통해 정의된 일부 이중 해석 함수의 부분류에 대해 제2 및 제3 매클로린 계수 $ a_2 $ 와 $ a_3 $ 의 날카운 추정을 확립한다. 이는 경계 회전이 유계인 함수의 클래스 $ \mathcal{P}_m(\beta) $ 에서 유도된 계수 유계를 기반으로 한다. 주요 기여는 Srivastava 등이 이전에 발표한 결과를 일반화하고 개선하는 일반적 프레임워크를 제공하는 것으로, 특히 이중 항성형 및 이중 볼록 함수에 대해 강력한 결과를 도출한다.

ABSTRACT

In this paper, estimates for second and third MacLaurin coefficients of certain subclasses of bi-univalent functions in the open unit disk defined by convolution are determined, and certain special cases are also indicated. The main result extends and improve a recent one obtained by Srivastava et al.

연구 동기 및 목표

• 새로운 콘볼루션으로 정의된 부분류에서 이중 해석 함수의 제2 및 제3 테일러-매클로린 계수 $ a_2 $ 와 $ a_3 $ 의 날카운 상한을 유도하기 위해.
• 특히 Srivastava 등 [12]의 최근 계수 추정을 일반화하고 개선하기 위해.
• 고정된 코어널 함수 $ k \in \sigma $ 와의 헤이드라드(콘볼루션) 곱을 사용하여 두 개의 새로운 부분류인 $ \mathcal{BR}^k(m;\beta) $ 와 $ \mathcal{BV}^k(m;\alpha,\beta) $ 를 도입하고 분석하기 위해.
• 제안된 클래스의 특수한 경우로 이중 항성형 및 이중 볼록 함수를 포함시켜 기존 결과를 통합하고 확장하기 위해.
• 코어널 계수 $ k_2, k_3 $, 매개변수 $ \beta $, 그리고 인덱스 $ m \geq 2 $ 를 포함한 명시적이고 계산 가능한 $ |a_2| $ 와 $ |a_3| $ 의 상한을 제공하기 위해.

제안 방법

• 고정된 코어널 함수 $ k \in \sigma $ 와의 헤이드라드(콘볼루션) 곱을 사용하여 두 개의 새로운 이중 해석 함수 부분류인 $ \mathcal{BR}^k(m;\beta) $ 와 $ \mathcal{BV}^k(m;\alpha,\beta) $ 를 정의하기 위해.
• 경계 회전이 유계인 함수의 클래스인 $ \mathcal{P}_m(\beta) $ 를 활용하며, 여기서 $ \operatorname{Re} P(z) > \beta $ 이고 관련 측도의 총 변동량이 $ m $ 이하임을 의미한다.
• 함수 $ f $ 와 $ g = f^{-1} $ 에 대해 $ (f*k)(z)/z $, $ (g*k)(w)/w $ 와 그 로그 도함수의 급수 전개를 유도하여, 계수 추정을 $ \mathcal{P}_m(\beta) $ 클래스와 연결하기 위해.
• 함수 $ \mathcal{P}_m(\beta) $ 에 속하는 함수의 계수에 대해 알려진 유계 $ |h_n| \leq m(1 - \beta) $ 를 콘볼루션 곱의 로그 도함수에 적용하기 위해.
• 대수적 소거와 대입을 사용하여, 계수 $ k_2, k_3 $ 와 매개변수 $ \alpha, \beta, m $ 를 변수로 하는 $ a_2 $ 와 $ a_3 $ 의 결과 시스템 방정식을 풀기 위해.
• 유도된 표현식을 $ \mathcal{P}_m(\beta) $ 에서의 계수 유계와 결합하여, $ k_2, k_3 $ 가 비퇴화 조건을 만족할 경우에 유효한 $ |a_2| $ 와 $ |a_3| $ 의 명시적 상한을 도출하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 콘볼루션을 통해 정의된 부분류 $ \mathcal{BR}^k(m;\beta) $ 의 이중 해석 함수에 대해 제2 및 제3 매클로린 계수 $ a_2 $ 와 $ a_3 $ 의 날카운 추정은 무엇인가요?
• RQ2 매개변수 $ \alpha $ 를 포함하는 일반화된 클래스 $ \mathcal{BV}^k(m;\alpha,\beta) $ 에 대해 계수 추정은 코어널 함수 $ k $ 와 매개변수 $ \alpha, \beta, m $ 에 따라 어떻게 달라지나요?
• RQ3 유도된 $ |a_2| $ 와 $ |a_3| $ 의 상한은 Srivastava 등 [12] 가 발표한 이중 항성형 및 이중 볼록 함수에 대한 결과를 어떻게 일반화하고 개선합니까?
• RQ4 코어널 계수 $ k_2, k_3 $ 와 매개변수 $ \alpha, \beta, m $ 를 변수로 하는 $ |a_2| $ 와 $ |a_3| $ 의 명시적 표현은 무엇이며, 비퇴화 조건 하에서 어떻게 유도되나요?
• RQ5 코어널 $ k $ 가 어떤 조건을 만족할 경우, $ \mathcal{BV}^k(m;\alpha,\beta) $ 의 계수 추정이 유효한가요? 특히 $ 2(1+2\alpha)k_3 - (1+3\alpha)k_2^2 \neq 0 $ 인 경우는 어떻게 되나요?

주요 결과

• 부분류 $ \mathcal{BR}^k(m;\beta) $ 에 대해 $ |a_2| $ 의 상한은 $ \min\left\{ \sqrt{ \frac{m(1-\beta)}{ |2k_3 - k_2^2| } }, \frac{m(1-\beta)}{ |k_2| } \right\} $ 이며, 콘볼루션과 $ \mathcal{P}_m(\beta) $ 제약 조건에서 유도된다.
• 부분류 $ \mathcal{BR}^k(m;\beta) $ 에 대해 $ |a_3| $ 의 상한은 $ \min\left\{ \frac{m(1-\beta)}{ |2k_3 - k_2^2| } + \frac{m(1-\beta)}{2|k_3|}, \frac{m(1-\beta)(1 + m(1-\beta))}{2|k_3|}, \frac{m(1-\beta)}{2|k_3|} \left(1 + \frac{m(1-\beta)|4k_3 - k_2^2|}{|k_2|^2} \right) \right\} $ 로, 여러 추정치의 조합이다.
• 부분류 $ \mathcal{S}_m^k(\beta) $ (즉, $ \alpha = 0 $ 인 경우) 에 대해 $ |a_2| $ 의 상한은 $ \min\left\{ \sqrt{ \frac{m(1-\beta)}{ |2k_3 - k_2^2| } }, \frac{m(1-\beta)}{ |k_2| } \right\} $ 이며, $ |a_3| $ 의 상한은 $ m, \beta, k_2, k_3 $ 를 변수로 하는 세 개의 표현식의 최소값이다.
• 부분류 $ \mathcal{C}_m^k(\beta) $ (즉, $ \alpha = 1 $ 인 경우) 에 대해 $ |a_2| $ 의 상한은 $ \min\left\{ \sqrt{ \frac{m(1-\beta)}{ |6k_3 - 4k_2^2| } }, \frac{m(1-\beta)}{ 2|k_2| } \right\} $ 이며, 매개변수 $ \alpha $ 가 계수 제약 조건에 미치는 영향을 반영한다.
• $ \mathcal{C}_m^k(\beta) $ 에서 $ |a_3| $ 의 상한은 $ \min\left\{ \frac{m(1-\beta)}{ |6k_3 - 4k_2^2| } + \frac{m(1-\beta)}{6|k_3|}, \frac{m(1-\beta)(1 + m(1-\beta))}{6|k_3|}, \frac{m(1-\beta)}{6|k_3|} \left(1 + \frac{m(1-\beta)|3k_3 - k_2^2|}{|k_2|^2} \right) \right\} $ 로, $ \alpha = 0 $ 인 경우보다 더 엄격한 제약 조건을 보여준다.
• 결과는 Srivastava 등 [12] 의 작업을 일반화하고 개선하며, 특히 콘볼루션 기반 이중 해석 함수 부분류의 계수 추정에 대해 통합된 프레임워크를 제공하고, 고전적인 이중 항성형 및 이중 볼록 함수를 넘어서 적용 가능한 함수의 범위를 넓힌다.