[논문 리뷰] Estimates for the closeness of convolutions of probability distributions on convex polyhedra

Friedrich Götze, A. Yu. Zaîtsev|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 18.

Approximation Theory and Sequence Spaces참고 문헌 10인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 Rd에서 볼록 다면체 위의 확률 분포의 연속 복합에 대한 비균일한 유계를 설정하며, Arak 및 Zaitsev의 방법을 다차원 설정으로 확장한다. 복합 분포와 그에 수반된 복합 포아송 법칙 사이의 콜모고로프 거리에 대한 명시적 추정치를 도출하며, 이는 m개 방향에 대한 분포의 투영의 농도 함수에 의존하는 감쇠률을 보여주며, 대칭 및 양수 분포의 경우 향상된 감쇠률을 제공한다. 주요 기여는 기하학적 및 확률적 매개변수에 명시적인 의존성을 갖는 다면체 집합에서 수렴을 정량화하는 부등식의 가족을 수립하는 것이다.

ABSTRACT

The aim of the present work is to show that the results obtained earlier on the approximation of distributions of sums of independent summands by the accompanying compound Poisson laws and the estimates of the proximity of sequential convolutions of multidimensional distributions may be transferred to the estimation of the closeness of convolutions of probability distributions on convex polyhedra.

연구 동기 및 목표

• d차원에서 볼록 다면체 위에 지지된 분포에 대해 독립적인 랜덤 벡터의 합의 복합 포아송 법칙에 의한 근사 기존 결과를 확장하는 것.
• 볼록 다면체 집합 위에서 분포의 복합과 그 근사 복합 포아송 법칙 사이의 콜모고로프 거리 ρm(G, H)에 대한 비균일 유계를 도출하는 것.
• 특히 대칭 및 양수 분포에 대해 다면체 집합 위에서 F^n과 F^{n+1}의 수렴 속도를 정량화하는 것.
• d차원 분포의 m차원 투영에 대한 이전의 균일 및 비균일 근사 결과를 일반화하는 것.
• 볼록 다면체 집합 위에서 i.i.d. 랜덤 벡터의 수의 합의 분포에 대한 유계를 수립하는 것.

제안 방법

• m변량의 삼각 함수 방법 및 그 일반화를 사용하여, m개 방향 tj ∈ Rd에 대해 X = {x ∈ Rd : aj ≤ ⟨x, tj⟩ ≤ bj} 형태의 집합 위에서 분포의 밀접함을 분석한다.
• 분포 H가 집합 X 위의 방향 t에 대해 투영된 확산을 측정하는 기하학적 농도 함수 q(H, X) = inf_{||t||=1} Q(L(⟨ξ,t⟩), λ({⟨x,t⟩: x∈X}))를 도입한다.
• ε이 농도 함수와 로그 항에 의존하는 형태의 유계 |G{X} − H{X}| ≤ c(m) ε을 적용하여, ρm(G, H) = sup_{X∈Xm} |G{X} − H{X}|에 대한 비균일 추정치를 도출한다.
• n중 복합 F^n과 수반된 복합 포아송 법칙 e(nF) 사이의 거리에 대한 부등식을 수립하며, 이는 n^{-1}, 농도 함수 q1, 그리고 로그 보정 항에 의존하는 감쇠율을 갖는다.
• Gi = (1−pi)E + piVi 형태의 혼합 분포의 경우, 거리가 p = max pi에 대해 선형으로 감소함을 도출한다.
• d차원 대칭 또는 양수 분포의 투영이 F_d^{(α)} 또는 F_d^+에 속함을 이용하여, 1차원에서 알려진 유계를 m차원 투영 문제에 적용할 수 있음을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 d차원 분포 F ∈ F_d^{(α)}에 대해, 볼록 다면체 집합 위에서 F의 연속 복합이 수반된 복합 포아송 법칙으로 수렴하는 속도는 얼마나 되는가?
• RQ2 볼록 다면체 X ∈ Xm에 대해 |(F^n){X} − (F^{n+1}){X}|의 감쇠율은 무엇이며, 이는 X의 기하학적 구조와 분포 F에 어떻게 의존하는가?
• RQ3 투영된 분포의 농도 함수를 통합함으로써 다면체 집합 위에서 콜모고로프 거리에 대한 비균일 유계를 개선할 수 있는가?
• RQ4 ρm(F^n, F^{n+k})가 O(n^{-1/2})보다 더 빠르게 감쇠하는 조건은 무엇이며, 이는 F의 대칭성과 양수성에 어떻게 의존하는가?
• RQ5 i.i.d. 벡터의 수의 합의 분포에 대한 유계는 랜덤 인덱스의 분포와 다면체 집합의 기하학적 구조에 따라 어떻게 달라지는가?

주요 결과

• F ∈ F_d^{(α)} 이고 0 ≤ α ≤ 2일 때, 임의의 X ∈ Xm에 대해 |(F^n){X} − D{X}| ≤ c(m) [n^{-1} q_1^{1/5} (|log q_1| + 1)^{(17m+24)/5} + exp(−nα + c m log^3 n)] 이 성립하며, 여기서 D = e(nF) 이고 q_1 = q(D, X) 이다.
• 동일한 클래스에 대해 |(F^n){X} − (F^{n+1}){X}| ≤ c(m) [n^{-1} q_1^{1/3} (|log q_1| + 1)^{3m+2} + exp(−nα + c m log^3 n)] 이 성립하며, 농도 함수 q_1가 작을수록 더 빠른 감쇠를 보인다.
• 대칭 분포 F ∈ F_s^d에 대해, ρ_m(F^n, e(nF)) ≤ c(m) n^{-1/2} 이 성립하며, 일반적인 경우의 O(n^{-1}) 감쇠율보다 향상된다.
• 혼합 분포 Gi = (1−pi)E + piVi 이고 p = max pi 일 때, |G{X} − D{X}| ≤ c(m) q_2^{1/3} (|log q_2| + 1)^{3m+2} p 가 성립하며, 여기서 D = e(G_1 * ... * G_n) 이고 p에 대한 선형 의존성이 드러난다.
• m개 방향에 대한 투영이 비퇴화 또는 한 점에 퇴화된 경우, 모든 X ∈ X(t_1, ..., t_m)에 대해 |(F^n){X} − (F^{n+1}){X}| ≤ c(F, t_1, ..., t_m) n^{-1/2} 가 성립하며, 이는 약한 조건 하에서 일반적인 O(n^{-1/2}) 감쇠율을 나타낸다.
• i.i.d. 벡터의 수의 합에 대해, F ∈ F_d^+ 이면 ρ_m(G, H) ≤ inf_E min{ c(m) |μ−ν|/(ν+1), 1 } 이고, F ∈ F_s^d 이면 ρ_m(G, H) ≤ inf_E min{ c(m)/√(ν+1) + c(m)|μ−ν|/(ν+1), 1 } 이 성립하며, 이는 평균과 분산에 따라 감쇠가 달라짐을 보여준다.