[논문 리뷰] Estimates for the strong approximation in multidimensional central limit theorem

A. Yu. Zaîtsev|ArXiv.org|2003. 04. 24.

Probability and Risk Models참고 문헌 29인용 수 32

한 줄 요약

이 논문은 유한한 지수적 모멘트를 가진 독립적인 d차원 랜덤 벡터 합에 대해 강한 가우시안 근사의 차원에 의존하는 명시적 상한을 수립한다. 이중 구조와 분위수 변환을 사용하여 Komlós–Major–Tusnády 및 Sakhanenko의 1차원 결과를 다차원로 일반화하며, 근사 오차의 지수 꼬리 상한을 통해 차원 d와 분포 매개변수에 대한 명시적 의존성을 제공한다.

ABSTRACT

In a recent paper the author obtained optimal bounds for the strong Gaussian approximation of sums of independent $\R^d$-valued random vectors with finite exponential moments. The results may be considered as generalizations of well-known results of Komlós--Major--Tusnády and Sakhanenko. The dependence of constants on the dimension $d$ and on distributions of summands is given explicitly. Some related problems are discussed.

연구 동기 및 목표

• 유한한 지수적 모멘트를 가진 독립적인 랜덤 벡터 합에 대해 최적의 강한 근사 결과를 1차원에서 다차원로 확장하는 것.
• 근사 상수의 차원 d와 합성분 분포의 꼬리 행동에 대한 명시적 의존성을 제공하는 것.
• Sakhanenko 및 Komlós–Major–Tusnády의 1차원 결과를 유한한 지수적 모멘트를 가진 d차원 랜덤 벡터로 일반화하는 것.
• 다차원 불변성 원리에서 프로호로프 거리와 근사 오차에 대해 날카운 꼬리 상한을 수립하는 것.
• 고차원 강한 근사에서 공분산 구조 조건이 필수적인지에 대한 미해결 질문을 다루는 것.

제안 방법

• 조건부 분위수 변환을 사용하여 Komlós–Major–Tusnády의 이중 근사 체계를 다차원로 적응시킨다.
• 원래 $X_i$와 동일한 1차 및 2차 모멘트를 갖는 독립적인 가우시안 벡터 $Y_1, \dots, Y_n$을 구성한다.
• 근사 오차를 제어하기 위해 1차, 2차, 3차 모멘트를 일치시키는 매끄럽고 유계인 근사 분포를 사용한다.
• Strassen–Dudley 정리를 활용하여 프로호로프 거리 추정을 통해 원래 합과 가우시안 과정을 쌍화한다.
• 이중 블록 구조에서 조건부 분포에 대한 Rosenblatt 분위수 변환을 적용하여 매끄럽고 가우시안에 가까운 성질을 확보한다.
• 클래스 $\mathcal{A}_d(\tau)$의 성질을 이용하여 최대 편차 $\Delta(X,Y) = \max_{1 \leq k \leq n} \|\sum_{i=1}^k (X_i - Y_i)\|$에 대한 지수 꼬리 상한을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다차원 중심극한정리에서 강한 근사 오차에 대한 최적의 명시적 상한은 무엇인가?
• RQ2 근사 오차는 차원 $d$와 합성분 분포의 꼬리 행동에 어떻게 의존하는가?
• RQ3 이중 구조 방법은 유한한 지수적 모멘트를 가진 비동일 분포인 d차원 랜덤 벡터로 확장될 수 있는가?
• RQ4 공분산 구조와 매개변수 $\tau$는 근사 속도를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 공분산 연산자에 대한 조건(예: $\text{cov}(F) \geq \tau \mathbf{I}$)은 강한 근사 상한에 필수적인가?

주요 결과

• 논문은 지수 꼬리 상한을 수립한다: $\mathbf{E}\left[\exp\left(\frac{c \Delta(X,Y)}{\tau}\right)\right] \leq 1 + B/\tau$, 여기서 $B^2 = \sum_{i=1}^n \mathbf{E}[X_i^2]$, 명시적 상수는 차원과 분포에 의존한다.
• 프로호로프 거리에 대해, $\pi(F, \Phi(F), \lambda) \leq c d^2 \exp\left(-\frac{\lambda}{c d^2 \tau}\right)$ 이며, 모든 $\tau > 0$ 에 대해 성립하며 공분산 조건 없이도 성립한다.
• 근사 오차는 $\mathbf{P}(c_1 \Delta(X,Y)/\tau(F) \geq x) \leq \exp\left(\log(1 + \sqrt{n \mathbf{E}[\xi^2]}/\tau(F)) - x\right)$ 를 만족하며, 분포 $F$에 대한 명시적 의존성을 보여준다.
• 분포 $\mathcal{B}_d(\tau)$의 합성에 대해, 쌍화는 $\mathbf{P}(\|\xi - \eta\| > \lambda) \leq c(d)\left(\max_i p_i + \exp(-\lambda / (c(d)\tau))\right) + \sum p_i^2$ 를 만족하며, 유계가 아닌 지지집합으로 일반화된다.
• 이전의 다차원 결과에서 존재하던 상용 로그 인자를 제거하여 KMT 및 Sakhanenko의 의미에서 최적성을 달성한다.
• 구성은 비동일 분포인 합성분에도 유효하며, 명시적 상수를 제공하는 날카운 차원 인식 근사 속도를 제공한다.