[논문 리뷰] Estimates of Green Function for some perturbations of fractional Laplacian

Tomasz Grzywny, Michał Ryznar|arXiv (Cornell University)|2006. 05. 14.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 10인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 대칭 레비 과정 $Y_t$의 그린 함수에 대한 이중 추정을, 등방성 $\alpha$-안정 과정의 변형으로서, 그 레비 측도의 차이에 대한 조건 하에 수립한다. 복합 포아송 과정과 경계 하르낙 원리에 기반한 기본적인 확률적 방법을 사용하여, 레비 측도의 차이가 원점 근처에서 $O(|x|^{-d+\varrho})$일 때, 유계 리프시츠 도메인에서 $Y_t$의 그린 함수와 안정 과정의 그린 함수가 비교 가능하다는 것을 증명한다. 이는 이전 결과를 1차원 및 상대성 $\alpha$-안정 과정과 같은 더 일반적인 과정으로 확장한다.

ABSTRACT

Suppose that Y(t) is a d-dimensional Levy symmetric process for which its Levy measure differs from the Levy measure of the isotropic alpha-stable process (00, we prove that the Green functions are comparable, provided D is connected. These results apply for example to alpha-stable relativistic process. This process was studied in recent years. In the paper we also considered one dimensional case for alpha<= 1 and proved that the Green functions for an open and bounded interval are comparable.

연구 동기 및 목표

• 대칭 레비 과정 $Y_t$의 그린 함수와 등방성 $\alpha$-안정 과정의 그린 함수를, 그들의 레비 측도가 유한한 부호 측도로 다를 때 비교하는 것.
• 이전에 $d > \alpha$ 및 $C^{1,1}$ 도메인에 국한되어 있던 비교 결과를, 유계 리프시츠 도메인과 1차원 경우에 대해 $\alpha \geq 1$일 때까지 확장하는 것.
• 레비 측도의 차이에 대해 더 약한 조건, 특히 원점 근처에서 $|\sigma(x)| \leq c|x|^{-d+\varrho}$를 만족할 때 비교 가능성을 확립하는 것. 이 경우 차이의 부호가 양수일 필요는 없다.
• 레비 측도가 원점 근처 외부에서 0이 되는 경우를 다룰 수 있는 기존 방법(예: 이동 변환)과는 다른 대안적 방법을 제공하는 것.

제안 방법

• 레비 측도의 차이가 양의 유한 측도일 경우, 변형된 과정 $Y_t$를 안정 과정과 독립된 복합 포아송 과정의 합으로 표현한다.
• 레비 측도의 차이가 충분히 조건을 만족할 경우, 변형된 과정 $Y_t$에 대해 경계 하르낙 원리를 적용하여 조화 함수의 비교가 가능함을 보인다.
• 안정 과정과의 비교를 통해 잠재 측도와 퇴출 시간에 대한 추정을 수립하며, 이는 $E^x \tau^Y_D \approx E^x \widetilde{\tau}_D$라는 가정 하에 성립한다.
• 절단된 그린 함수와 하르낙 부등식을 사용하여, 특히 $|x-y|$가 경계까지의 거리에 비해 작을 때 $G^Y_D(x,y)$와 $\widetilde{G}_D(x,y)$를 비교한다.
• 레비 측도가 $\nu^Y$와 $\widetilde{\nu}$를 모두 지배하는 중간 과정 $Z_t$를 도입하여, $Z_t$에서의 비교 가능성을 $Y_t$로 이전하는 비교 방법을 적용한다.
• 내부 및 경계 근처에서 안정 그린 함수에 대한 알려진 추정 $\widetilde{G}_D(x,y) \approx |x-y|^{\alpha-d}$와 퇴출 시간의 행동을 조합하여 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유계 리프시츠 도메인에서, 대칭 레비 과정의 그린 함수가 등방성 $\alpha$-안정 과정의 그린 함수와 비교 가능해지기 위한 레비 측도의 차이에 대한 조건은 무엇인가?
• RQ2 이전 결과가 $d > \alpha$에 국한되어 있었던 바, $\alpha \geq 1$인 1차원 도메인으로 비교 가능성 결과를 확장할 수 있는가?
• RQ3 레비 측도의 차이가 반드시 양수가 아니지만, 원점 근처에서 크기가 $O(|x|^{-d+\varrho})$ 이하일 경우에도 비교 가능성은 유지되는가?
• RQ4 레비 측도가 원점 근처 외부에서 0이 되는 과정의 경우, 기존의 이동 변환 기법으로 다루기 어려운 경우에도 이 방법이 적용 가능한가?
• RQ5 레비 측도의 차이가 국소 적분 가능 조건을 만족할 때, $Y_t$에 대한 경계 하르낙 원리가 두쪽 추정을 도출하는 데 충분한가?

주요 결과

• 유계 리프시츠 도메인 $D$에 대해, $\sigma(x) = \widetilde{\nu}(x) - \nu^Y(x)$가 비음이면서 $|x| \leq 1$일 때 $\sigma(x) \leq c|x|^{\varrho - d}$를 만족할 경우, $G^Y_D(x,y)$와 $\widetilde{G}_D(x,y)$는 상수 $C = C(d,\alpha,D,\varrho,c)$에 대해 비교 가능하다.
• $\sigma(x)$가 비음이 아닐 수도 있으나, $|x| \leq 1$일 때 $|\sigma(x)| \leq c|x|^{-d+\varrho}$ 이고 $\nu^Y(x)$가 $B^c(0,1)$에서 유계일 경우, 그린 함수는 여전히 비교 가능하며 상수는 $C = C(d,\alpha,D,\varrho,\sigma)$이다.
• $\alpha \geq 1$인 1차원 경우는 주정리에 의해 포함되며, 이는 이전에 문헌에서 확립되지 않은 새로운 결과이다.
• 이 방법은 레비 측도 $\nu^Y(x)$가 원점 근처 외부에서 0이 되는 과정을 다룰 수 있으며, 이는 [CS3] 또는 [KL]에서 사용된 이동 변환 방법으로는 다루기 어려운 경우이다.
• 제시된 조건 하에 $Y_t$에 대한 경계 하르낙 원리가 확립되어 조화 함수의 비교가 가능해지고, 최종적으로 이중 추정이 도출된다.
• 기존에 알려진 상대성 $\alpha$-안정 과정의 비교 가능성 결과는 모든 유계 리프시츠 도메인으로 확장되었으며, 1차원 경우도 포함된다.