[논문 리뷰] Estimates of Potential functions of random walks on $Z$ with zero mean and infinite variance and their applications

Kôhei Uchiyama|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 27.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 27인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 평균이 0이고 분산이 무한대인 정수 위에서의 일차원 랜덤 워크의 잠재함수 $ a(x) $에 대해 날카운 상한과 하한을 확립하며, 증분 분포의 尾 조건 하에서 $ a(x) \\asymp x/m(x) $ 라고 보여준다. 핵심 결과는 오른쪽 꼬리가 왼쪽 꼬리에 비해 渐近적으로 무시할 수 있을 때 $ a(-x)/a(x) \to 0 $ 가 되며, 이는 정밀한 渐近적 추정과 도망 확률, 래퍼 높이의 안정성에 응용 가능하다.

ABSTRACT

Let $S_n =X_1+\cdots +X_n$ be an irreducible random walk (r.w.) on the one dimensional integer lattice with zero mean, infinite variance and i.i.d. increments $X_n$. We obtain an upper and lower bounds of the potential function, $a(x)$, of $S_n$ in the form $a(x)\asymp x/m(x)$ under a reasonable condition on the distribution of $X_n$; we especially show that as $x o\infty$ $$a(x) \asymp \frac{x}{m_-(x)} \quad\mbox{and}\quad \frac{a(-x)}{a(x)} o 0 \quad\;\;\mbox{if}\quad \lim_{x o +\infty} \frac{m_+(x)}{m_-(x)} =0,$$ where $m_\pm(x) = \int_0^xdy\int_y^\infty P[\pm X_1>u]du$ and $m=m_++m_-$. Under certain conditions on the tails of the distribution of $X$ we derive precise asymptotic forms of $a(x)$ as $x o +\infty$ or/and $-\infty$. The results are applied to derive a sufficient condition for the relative stability of the ladder height and estimates of some escape probabilities from the origin; we show among others that under the above condition on $m_+/m-$, $P[S_n>0] o 1/α$ if and only if the probability of exiting a long interval $[-Q,R]$ through the upper boundary converges to $λ^{α-1}$ as $Q/(Q+R) o λ$ for any $0

연구 동기 및 목표

• 0 평균과 무한 분산을 가진 $\mathbb{Z}$ 위의 재귀적 랜덤 워크의 잠재함수 $ a(x) $에 대한 정밀한 渐近적 경계를 유도하는 것.
• 함수 $ m(x) = m_+(x) + m_-(x) $ 를 통해 $ \bar{a}(x) = \frac{1}{2}(a(x) + a(-x)) $ 의 성장률을 특성화하는 것, 여기서 $ m_\pm(x) = \int_0^x \eta_\pm(t)\,dt $ 이고 $ \eta_\pm(x) = \int_x^\infty P(\pm X > u)\,du $ 이다.
• 잠재함수의 감쇠가 음의 축에서 비대칭이 되는 조건을 조사하는 것, 즉 $ a(-x)/a(x) \to 0 $ 이 되는 조건.
• 잠재함수 경계를 응용하여 첫 번째 래퍼 높이의 상대적 안정성에 대한 충분조건를 도출하고, 간격에서의 양방향 탈출 문제를 분석하는 것.

제안 방법

• 잠재함수 정의 $ a(x) = \sum_{n=0}^\infty \big( P(S_n = 0) - P(S_n = -x) \big) $ 를 사용하며, 여기서 $ S_n $ 은 i.i.d. 증분을 가진 랜덤 워크이다.
• 핵심 기능으로 $ m_\pm(x) = \int_0^x \eta_\pm(t)\,dt $ 를 도입하며, 여기서 $ \eta_\pm(x) = \int_x^\infty P(\pm X_1 > u)\,du $ 이고 $ m(x) = m_+(x) + m_-(x) $ 이다.
• 조건 (H) 하에서 $ \bar{a}(x) \asymp x/m(x) $ 를 확립하며, 이 조건은 특성함수의 0 근처 행동을 제어한다: $ \delta_H = \liminf_{t \downarrow 0} \frac{\alpha(t) + |\gamma(t)|}{\eta(1/t)} > 0 $.
• 타우버 정리와 갱신측도의 푸리에 분석을 통해 $ \bar{a}(x) $ 의 상한과 하한을 유도하며, 특히 사인 급수 표현 $ u_x = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi S(\theta) \sin x\theta\,d\theta $ 를 활용한다.
• 증분 분포의 꼬리에 대한 정규 변화 조건을 가정하여, 천천히 변화하는 함수 이론과 갱신이론의 기존 결과를 활용해 $ a(x) $ 의 渐近적 행동을 분석한다.
• 죽은 랜덤 워크의 그린 함수를 표현하는 항등식 $ g(x,y) = a(x) + a(-y) - a(x-y) $ 을 응용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 큰 $ x $ 에 대해 잠재함수 $ a(x) $ 가 $ a(x) \asymp x/m(x) $ 를 만족하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 언제 $ a(-x)/a(x) \to 0 $ 이 되며, 이는 증분 분포의 꼬리 비대칭성에 대해 무엇을 시사하는가?
• RQ3 $ a(x) $ 의 渐近적 행동은 첫 번째 래퍼 높이의 상대적 안정성과 도망 확률에 어떻게 관련되는가?
• RQ4 증분 분포의 오른쪽 꼬리가 왼쪽 꼬리에 비해 무시할 수 있을 때 $ a(x) $ 의 정밀한 渐近적 행동은 무엇인가?
• RQ5 $ \int_1^\infty \frac{xP(X > x)}{m_-(x)}\,dx < \infty $ 라는 조건은 첫 번째 래퍼 높이의 적분 가능성과 연결될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 충분히 큰 $ x $ 에 대해 어떤 universal $ C_* > 0 $ 에 대해 $ \bar{a}(x) \geq C_* x/m(x) $ 를 만족하며, 이는 $ m(x) $ 를 통해 하한이 확립됨을 보여준다.
• 조건 (H) 하에서 $ \bar{a}(x) \leq C_H^* x/m(x) $ 를 만족하며, 이때 $ C_H^* $ 는 오직 $ \delta_H $ 에만 의존하는 상수이므로, 상한과 하한이 일치하고 따라서 $ \bar{a}(x) \asymp x/m(x) $ 라고 유도된다.
• 만약 $ \frac{\alpha(t) + |\gamma(t)|}{t m(1/t)} \to 0 $ 이면 $ t \downarrow 0 $ 일 때 $ \frac{\bar{a}(x)}{x/m(x)} \to \infty $ 가 되며, 이는 $ \bar{a}(x) $ 가 $ x/m(x) $ 보다 더 빠르게 증가함을 시사한다.
• 만약 $ \lim_{x \to \infty} \frac{m_+(x)}{m_-(x)} = 0 $ 이면 $ \frac{a(-x)}{a(x)} \to 0 $ 이 되며, 이는 음의 축에서 $ a(x) $ 의 감쇠에 강한 비대칭성이 있음을 보여준다.
• $ a(x) $ 의 渐近적 행동을 사용하여, $ P(S_n > 0) \to 1/\alpha $ 이고, $ [-Q,R] $ 에서의 탈출 확률이 상부 경계를 향해 수렴할 때 $ \lambda^{\alpha-1} $ 이 되는 것과 동치임을 보여준다. 여기서 $ Q/(Q+R) \to \lambda \in (0,1) $ 이다.
• 결과들은 첫 번째 래퍼 높이의 상대적 안정성에 대한 충분조건를 제공하며, 꼬리 조건 $ \int_1^\infty \frac{xP(X > x)}{m_-(x)}\,dx < \infty $ 를 통해 래퍼 높이 분포의 적분 가능성에 대한 기준을 정밀화한다.