[논문 리뷰] Estimates of the asymptotic Nikolskii constants for spherical polynomials

Feng Dai, Д. В. Горбачев외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 08.

Mathematical functions and polynomials참고 문헌 32인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 단위 구면 $ℝ^d$ 위의 구면 다항식에 대한 渐近 Nikolskii 상수와 Bessel 함수 및 그 영점들을 포함하는 극값 문제 사이의 정확한 연결을 수립한다. 이는 $d \to \infty$ 일 때 상수 $ℝ^*(d)$ 가 지수적으로 빠르게 감소함을 증명하며, bounds $0.5^d \leq \mathcal{L}^*(d) \leq (0.857\cdots)^{d(1+O(d^{-2/3}))}$ 를 제시한다. 이는 $L^1 \to L^\infty$ 추정 이론과 관련된 오랫동안 미해결이었던 문제를 해결한다.

ABSTRACT

Let $Π_n^d$ denote the space of spherical polynomials of degree at most $n$ on the unit sphere $\mathbb{S}^d\subset \mathbb{R}^{d+1}$ that is equipped with the surface Lebesgue measure $dσ$ normalized by $\int_{\mathbb{S}^d} \, dσ(x)=1$. This paper establishes a close connection between the asymptotic Nikolskii constant, $$ \mathcal{L}^\ast(d):=\lim_{n o \infty} \frac 1 {\dim Π_n^d} \sup_{f\in Π_n^d} \frac { \|f\|_{L^\infty(\mathbb{S}^d)}}{\|f\|_{L^1(\mathbb{S}^d)}},$$ and the following extremal problem: $$ \mathcal{I}_α:=\inf_{a_k} \Bigl\| j_{α+1} (t)- \sum_{k=1}^\infty a_k j_α \bigl( q_{α+1,k}t/q_{α+1,1}\bigr)\Bigr\|_{L^\infty(\mathbb{R}_+)} $$ with the infimum being taken over all sequences $\{a_k\}_{k=1}^\infty\subset \mathbb{R}$ such that the infinite series converges absolutely a.e. on $\mathbb{R}_+$. Here $j_α$ denotes the Bessel function of the first kind normalized so that $j_α(0)=1$, and $\{q_{α+1,k}\}_{k=1}^\infty$ denotes the strict increasing sequence of all positive zeros of $j_{α+1}$. We prove that for $α\ge -0.272$, $$\mathcal{I}_α= \frac{\int_{0}^{q_{α+1,1}}j_{α+1}(t)t^{2α+1}\,dt}{\int_{0}^{q_{α+1,1}}t^{2α+1}\,dt}= {}_{1}F_{2}\Bigl(α+1;α+2,α+2;-\frac{q_{α+1,1}^{2}}{4}\Bigr). $$ As a result, we deduce that the constant $\mathcal{L}^\ast(d)$ goes to zero exponentially fast as $d o\infty$: \[ 0.5^d\le \mathcal{L}^{*}(d)\le (0.857\cdots)^{d\,(1+\varepsilon_d)} \ \ \ \ \ ext{with $\varepsilon_d =O(d^{-2/3})$.} \]

연구 동기 및 목표

• 구면 다항식에 대한 최적 Nikolskii 상수 $\mathcal{L}^*(d)$ 의 $d \to \infty$ 에서 渐近 행동을 규명하는 것.
• $\mathcal{L}^*(d)$ 와 Bessel 함수 및 그 영점들을 포함하는 극값 문제 사이의 깊은 연결을 수립하는 것.
• 고차원에서 $\mathcal{L}^*(d)$ 의 감쇠 속도 추정이라는 오랜 동안 미해결이었던 문제를 해결하는 것.
• 결과를 적용하여 $L^1$-근사 및 압축 감지에서 Remez 상수 $\alpha_d^*$ 의 渐近 추정을 도출하는 것.

제안 방법

• 저자들은 구면 다항식의 차수 $n$ 에 대해 $\|f\|_{L^\infty}/\|f\|_{L^1}$ 의 비율의 극한으로서, 공간 $\Pi_n^d$ 의 차원으로 정규화된 渐近 Nikolskii 상수 $\mathcal{L}^*(d)$ 를 정의한다.
• 균일 노름을 최소화하도록 계수 $\{a_k\}$ 를 선택하는 방식으로, Bessel 함수와 스케일된 Bessel 함수의 차이에 대한 극값 문제 $\mathcal{I}_\alpha$ 를 도입한다.
• $\mathcal{I}_\alpha$ 의 해는 $j_{\alpha+1}(t)$ 와 $t^{2\alpha+1}$ 를 포함하는 적분의 비율으로 표현되며, 이는 일반화된 호함수 ${}_1F_2$ 로 표현된다.
• Bessel 함수 영점의 渐近 행동과 Stirling 공식을 이용하여, $d \to \infty$ 일 때 $\mathcal{L}^*(d)$ 의 지수적 감쇠 속도를 유도한다.
• 주요 결과를 Remez 유사 문제에 적용하여, $\mathcal{L}^*(d)$ 와 $\mathbb{R}^d$ 위의 Nikolskii 상수 사이의 연결을 이용해 Remez 상수 $\alpha_d^*$ 의 상한을 도출한다.
• 분석은 알려진 지수 유형의 정칙 함수 이론과 특히 $j_{\alpha+1}$ 의 첫 번째 양의 영점 $q_{\alpha+1,1}$ 이 구면 조화 다항식의 구조에서 차지하는 역할에 기반한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $d \to \infty$ 일 때, $\mathbb{S}^d$ 위의 구면 다항식에 대한 Nikolskii 상수 $\mathcal{L}^*(d)$ 의 渐近 감쇠 속도는 무엇인가?
• RQ2 $\mathcal{L}^*(d)$ 는 Bessel 함수 및 그 영점들을 포함하는 극값 문제와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 고차원에서 $L^1 \to L^\infty$ 에서의 Nikolskii 부등식의 최적 상수는 정확히 추정할 수 있는가?
• RQ4 이 추정은 $L^1$-근사 이론에서 Remez 상수 $\alpha_d^*$ 에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 $\mathcal{L}^*(d)$ 의 지수적 감쇠는 날카롭고, 정확한 상한은 무엇인가?

주요 결과

• $d \to \infty$ 일 때, 渐近 Nikolskii 상수 $\mathcal{L}^*(d)$ 는 지수적으로 매우 빠르게 감소하며, bounds $0.5^d \leq \mathcal{L}^*(d) \leq (0.857\cdots)^{d(1+O(d^{-2/3}))}$ 를 만족한다.
• $\alpha \geq -0.272$ 에 대해 극값 문제 $\mathcal{I}_\alpha$ 는 정확히 해를 구할 수 있으며, $\mathcal{I}_\alpha = {}_1F_2\bigl(\alpha+1; \alpha+2, \alpha+2; -q_{\alpha+1,1}^2/4\bigr)$ 로 표현된다.
• $\mathcal{L}^*(d)$ 는 $\mathcal{L}^*(d) \leq \mathcal{I}_{d/2-1}$ 를 만족함을 보여, 구면 문제를 Bessel 함수 극값 문제와 연결한다.
• Remez 상수 $\alpha_d^*$ 에 대해, 논문은 $\bigl(\frac{V_d \alpha_d^*}{(2\pi)^d}\bigr)^{1/d} \geq (\sqrt{e/2})^{1+o(1)}$ 와 $\leq e^{1+o(1)}$ 의 渐近 상한을 도출한다. 이는 이전 추정보다 향상된 것이다.
• Bessel 함수 영점의 渐近 분석과 Stirling 공식을 통해 $\mathcal{L}^*(d)$ 의 지수적 감쇠가 입증되었으며, $\alpha \to \infty$ 일 때 $a_0^* \sim C \alpha^{-1/6} (2\alpha/e)^\alpha \cdot (\alpha + O(\alpha^{1/3}))^{-\alpha}$ 라는 형태를 취함을 보였다.
• 결과는 $L^1 \to L^\infty$ 에서의 최적 Nikolskii 상수가 다항식보다 더 빠르게 감소하며, 정량적으로 유계인 지수적 속도로 감소함을 확인한다.