[논문 리뷰] Estimating Drift Parameters in a Fractional Ornstein Uhlenbeck Process with Periodic Mean

Herold Dehling, Brice Franke외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 01.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 1인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 장기적 의존성과 주기적 평균을 갖는 분수 오르누이엔베르크 과정에서의 드리프트 파라미터에 대한 최소제곱 추정기의 제안한다. 분산형 스트로크 적분을 사용하여, 수렴 속도가 $ n^{1-H} $인 일致성과 점근 정규성을 확립한다. 이는 주기적 평균의 구조와 장기 기억 효과로 인해 고전적인 $ n^{1/2} $ 속도보다 느린 것이다.

ABSTRACT

We construct a least squares estimator for the drift parameters of a fractional Ornstein Uhlenbeck process with periodic mean function and long range dependence. For this estimator we prove consistency and asymptotic normality. In contrast to the classical fractional Ornstein Uhlenbeck process without periodic mean function the rate of convergence is slower depending on the Hurst parameter $H$, namely $n^{1-H}$.

연구 동기 및 목표

• 주기적 평균 함수 $ L(t) = \sum_{i=1}^p \mu_i \phi_i(t) $를 갖는 분수 오르누이엔베르크 과정에서 드리프트 파라미터 $ \theta = (\mu_1, \dots, \mu_p, \alpha)^T $를 추정하기 위해.
• 장기적 의존성(분수 브라운 운동을 통해 $ H > 1/2 $)과 주기적 결정적 추세를 동시에 포함하는 모델에서의 파라미터 추정 과제를 다루기 위해.
• 연속적인 관측 하에서 증가하는 시간 간격에 대해, 최소제곱 추정기의 점근적 성질—일치성과 점근 정규성—을 확립하기 위해.
• 주기적 평균과 장기적 의존성이 수렴 속도에 미치는 영향을 규명하여, 이로 인해 수렴 속도가 $ n^{1-H} $로 느려짐을 보여주기 위해.

제안 방법

• 스트로크 적분 방정식을 통해 과정을 기술: $ dX_t = \left( \sum_{i=1}^p \mu_i \phi_i(t) - \alpha X_t \right) dt + \sigma dB_t^H $, $ H \in (1/2, 3/4) $.
• 이토 또는 경로 기반 리만-스틸티jes 적분이 아닌 분산형 스트로크 적분을 사용하여 해의 존재성과 최소제곱 추정과의 호환성을 확보한다.
• 시간 간격 $[0, n\nu]$ 동안 통합된 과정을 바탕으로 제곱형 기능을 최소화하여 최소제곱 추정기 $ \hat{\theta}_n $를 유도한다. 이는 명시적 해 $ X_t = e^{-\alpha t} \left( \xi_0 + \int_0^t e^{\alpha s} L(s) ds - \sigma \int_0^t e^{\alpha s} dB_s^H \right) $를 활용한다.
• 정적 해 $ \tilde{X}_t $에 대해 에르고딕 정리 적용을 통해 일치성을 확립하며, 거의 확실히 $ n^{-1} \int_0^n X_t \phi_i(t) dt \to \mathbb{E}[\tilde{X}_t \phi_i(t)] $ 임을 보인다.
• 점근 정규성을 증명하기 위해 $ n^{1-H} (\hat{\vartheta}_n - \vartheta) $의 극한 분포를 분석하며, 이를 주기적 함수의 분수 브라운 운동에 대한 정규화된 적분의 수렴으로 환원한다.
• 의존적이고 가우시안인 랜덤 변수에 대한 기능적 중심극한정리 적용. 다중 위너 적분의 등장성 공식과 $ B^H $의 장기적 의존성 구조를 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 장기적 의존성과 주기적 평균 함수를 갖는 분수 오르누이엔베르크 과정에서 드리프트 파라미터를 어떻게 일관되게 추정할 수 있는가?
• RQ2 이 모델에서 최소제곱 추정기의 점근 분포는 무엇이며, 고전적 또는 비주기적 분수적 경우와 어떻게 다를까?
• RQ3 왜 수렴 속도가 $ n^{1/2} $보다 느린가? 주기적 평균의 구조는 속도와 점근 분산에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 연속적 관측 하에서 $ n \to \infty $일 때, 최소제곱 추정기 $ \hat{\theta}_n $는 드리프트 파라미터 $ \theta = (\mu_1, \dots, \mu_p, \alpha)^T $에 대해 일치한다.
• $ n^{1-H} (\hat{\vartheta}_n - \vartheta) $의 점근 분포는 평균이 0이고 공분산 행렬이 $ \sigma^2 C \Sigma_0 C $인 다변량 정규분포이다. 여기서 $ \Sigma_0 $는 장기적 의존성의 구조를 반영한다.
• 수렴 속도는 $ n^{1-H} $이며, 주기적 평균과 장기적 의존성의 상호작용으로 인해 고전적인 $ n^{1/2} $ 속도보다 느리다.
• 점근 공분산 행렬 $ \Sigma_0 $는 핵심 $ |t-s|^{2H-2} $에 의해 결정되며, 이는 분수 브라운 운동의 장기적 의존성을 반영한다. 이는 브라운 운동의 경우와 달리 정보 행렬의 역행렬 $ C^{-1} $ 와 같지 않다.
• 분수 브라운 운동에서 유래한 정적 성분 $ \tilde{Z}_t $는 점근적으로 극한 분포에서 영향을 상실하므로, 유일하게 점근 분산에 기여하는 것은 주기적 평균 함수 $ \tilde{h}(t) $와 주기적 $ \phi_i $ 함수 뿐이다.
• 점근 분산은 $ \Sigma_0 = \left( \begin{smallmatrix} \bar{G} & -\bar{a} \\ -\bar{a}^T & \bar{b} \end{smallmatrix} \right) $ 로 주어지며, 여기서 $ \bar{G}_{ij} = \alpha^H H(2H-1) \int_0^1 \int_0^1 \phi_i(s)\phi_j(t) |t-s|^{2H-2} ds dt $ 이고, $ \bar{b} $ 는 $ \tilde{h}(t) $ 의 자기상관을 포함한다.